К операции с множествами это союз, пересечение и различие. Результатом каждой из этих операций является новый набор. Для обозначения объединения множеств мы используем символ ∪; для пересечения — символ ∩; и для разницы, символ вычитание\(-\). В случае различия важно соблюдать порядок выполнения операции. Другими словами, если A и B — множества, то разница между A и B отличается от разницы между B и A.
Читайте также: Диаграмма Венна — геометрическое представление множеств и операций между ними.
Краткое описание операций с множествами
Операции с множествами: объединение, пересечение и разность.
Объединение (или встреча) множеств A и B — это множество A ∪ B, образованное элементами, принадлежащими A или принадлежащими B.
\(A∪B=\{x; xεA\ или\xεB\}\)
Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B, образованное элементами, принадлежащими A и принадлежащими B.
\(A∩B=\{x; xεA\ и\xεB\}\)
Разницей между множествами А и В является множество А – В, образованное элементами, принадлежащими А и не принадлежащими В.
\(А-В =\{х; xεA\ e\ x ∉B\}\)
Если U (известный как набор юниверсов) — это набор, который содержит все множества в данном контексте, то разница U – A, при которой A ⊂ U, называется дополнением к A. Дополнение А образовано элементами, не принадлежащими А, и представлено Аш.
\(A^c=U-A=\{x; х∉А\}\)
Видеоурок по работе с множествами
Какие три операции выполняются с множествами?
Три операции с наборами это: объединение, пересечение и разность.
Союз наборов
Объединение (или встреча) множеств A и B — это множество A ∪ B (читай «Объединение B»). Это множество состоит из всех элементов, принадлежащих множеству A. или принадлежат множеству B, то есть элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств.
Представляя элементы A ∪ B через x, запишем
\(A∪B=\{x; xεA\ или\xεB\}\)
На изображении ниже оранжевая область — это набор А ∪Б.
Кажется, сложно? Давайте рассмотрим два примера!
Пример 1:
Что такое множество A ∪ B, если A = {7, 8} и B = {12, 15}?
Множество A ∪ B состоит из элементов, принадлежащих A или принадлежат Б. Поскольку элементы 7 и 8 принадлежат множеству A, то оба они должны принадлежать множеству A ∪ B. Более того, поскольку элементы 12 и 15 принадлежат множеству B, то оба должны принадлежать множеству A ∪ B.
Поэтому,
А ∪ В={7, 8, 12, 15}
Обратите внимание, что каждый из элементов A∪B принадлежит либо множеству A, либо множеству B.
Пример 2:
Рассмотрим множества A = {2, 5, 9} и B = {1, 9}. Что такое множество A ∪ B?
Поскольку элементы 2, 5 и 9 принадлежат множеству A, то все они должны принадлежать множеству A∪B. Более того, поскольку элементы 1 и 9 принадлежат множеству B, то все они должны принадлежать множеству A ∪ B.
Обратите внимание, что мы дважды упомянули 9, поскольку этот элемент принадлежит множеству A и множеству B. Говоря, что «множество A ∪ B состоит из элементов, принадлежащих A или принадлежат B» не исключает элементы, одновременно принадлежащие множествам A и B.
Итак, в этом примере мы имеем
А ∪ В={1, 2, 5, 9}
Обратите внимание, что мы пишем элемент 9 только один раз.
Пересечение множеств
Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B (читай «Пересечение B»). Это множество состоит из всех элементов, принадлежащих множеству A. Это принадлежат множеству Б. Другими словами, A ∩ B состоит из общих элементов множеств A и B.
Обозначая элементы A ∩ B через x, запишем
\(A∩B=\{x; xεA\ и\xεB\}\)
На изображении ниже оранжевая область — это набор А ∩Б.
Давайте решим два примера о пересечении множеств!
Пример 1:
Рассмотрим A = {-1, 6, 13} и B = {0, 1, 6, 13}. Что такое множество A ∩ B?
Множество A ∩ B состоит из всех элементов, принадлежащих множеству A. Это принадлежат множеству Б. Обратите внимание, что элементы 6 и 13 одновременно принадлежат множествам A и B.
Так,
А ∩ В={6, 13}
Пример 2:
Каково пересечение множеств A = {0,4} и \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Обратите внимание, что между множествами A и B нет общего элемента. Таким образом, пересечение представляет собой множество без элементов, то есть пустое множество.
Поэтому,
\(\)А ∩ B={ } = ∅
Разница между наборами
Разница между наборами А и Б – это набор А – В (читай «разница между А и Б»). Этот набор состоит из все элементы, принадлежащие множеству A и не принадлежащие множеству B.
Изображая элементы A – B через x, запишем
\(A-B=\{x; xεA\ и\ x∉B\}\)
На изображении ниже оранжевая область — это набор А – Б.
Внимание: разница между множествами А и В не является разницей между множествами В и А, поскольку В – А образовано всеми элементами, принадлежащими множеству В и не принадлежащими множеству А.
Рассмотрим два примера ниже о разнице между наборами.
Пример 1:
Если A = {-7, 2, 100} и B = {2, 50}, то каково множество A – B? А как насчет набора B – A?
НаборА-Б состоит из всех элементов, принадлежащих множеству A. Этонет принадлежат множеству Б. Обратите внимание, что 2 — единственный элемент множества A, который также принадлежит множеству B. Таким образом, 2 не принадлежит множеству A – B.
Поэтому,
А – Б = {-7, 100}
При этом множество B – A состоит из всех элементов, принадлежащих множеству B. Этонет принадлежат множеству А. Поэтому,
Б – А = {50}
Пример 2:
В чем разница между набором A = {–4, 0} и набором B = {–3}?
Обратите внимание, что ни один из элементов A не принадлежит B. Таким образом, разность A – B – это само множество A.
\(А - В = \{-4,0\} = А\)
Наблюдение: Учтите, что U (называемое набором юниверсов) — это набор, который содержит все другие множества в данной ситуации. Так, разница У – А, с А⊂У, представляет собой множество, называемое дополнительным к A и изображается как \(ДО Н.Э\).
\(A^c=U-A=\{x; х∉А\}\)
На следующем изображении прямоугольник — это набор юниверсов, а оранжевая область — это набор юниверсов. \(ДО Н.Э\).
Узнать больше: Шаг за шагом, как сделать деление
Решенные упражнения на заданные операции
Вопрос 1
Рассмотрим множества A = {–12, –5, 3} и B = {–10, 0, 3, 7} и классифицируем каждое утверждение ниже как T (истина) или F (ложь).
Я. А ∪ В = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. А ∩ В = {3}
III. А – Б = {–12, –5}
Правильный порядок сверху вниз:
А) В-В-В
Б) Ф-В-В
В) В-Ф-В
Г) Ф-Ф-В
Е) Ф-Ф-Ф
Разрешение
Я. ЛОЖЬ.
Элемент 0 должен принадлежать объединению A и B, поскольку 0 ∈ B. Таким образом, A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Истинный.
III. Истинный.
Альтернатива Б.
вопрос 2
Рассмотрим A = {4, 5}, B = {6,7} и C = {7,8}. Тогда множество A ∪ B ∩ C есть
А) {7}.
Б) {8}.
В) {7, 8}.
Г) {6,7,8}.
Д) {4, 5, 6, 7, 8}.
Разрешение
Обратите внимание, что A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Следовательно, множество A ∪ B ∩ C является пересечением A ∪ B = {4, 5, 6, 7} и C = {7,8}. Скоро,
А ∪ В ∩ С = {7}
Альтернатива А.
Источники
ЛИМА, Илон Л.. Курс анализа. 7 изд. Рио-де-Жанейро: IMPA, 1992. т.1.
ЛИМА, Илон Л. и другие. Математика средней школы. 11. ред. Сборник учителя математики. Рио-де-Жанейро: СБМ, 2016. т.1.
