А числовая последовательность представляет собой набор чисел, организованных упорядоченным образом. Числовая последовательность может быть составлена по разным критериям — например, последовательность четных чисел или последовательность кратных 3. Когда мы можем описать этот критерий формулой, мы называем эту формулу законом образования числовой последовательности.
Читайте также: Различия между числом, цифрой и цифрой
Сводная информация о числовой последовательности
Числовая последовательность – это список чисел, расположенных по порядку.
Числовая последовательность может соответствовать различным критериям.
Закон возникновения числовой последовательности – это список элементов, существующих в последовательности.
Последовательность можно классифицировать двумя способами. Один учитывает количество элементов, а другой – поведение.
Что касается количества элементов, то последовательность может быть конечной или бесконечной.
Что касается поведения, то последовательность может быть возрастающей, постоянной, убывающей или колеблющейся.
Когда числовая последовательность может быть описана уравнением, это уравнение известно как закон формирования числовой последовательности.
Что такое последовательности?
Последовательности наборы элементов, расположенных в определенном порядке. В нашей повседневной жизни мы можем воспринимать несколько ситуаций, которые включают в себя последовательности:
Последовательность месяцев: Январь, февраль, март, апрель,..., декабрь.
Последовательность лет первых 5 чемпионатов мира 21 века: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
Существует несколько других возможных последовательностей, таких как последовательность имен или последовательность возраста. Всякий раз, когда существует установленный порядок, существует последовательность.
Каждый элемент последовательности известен как член последовательности, поэтому в последовательности есть первый член, второй член и так далее. В целом, последовательность может быть представлена как:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(до 1\) → первый срок.
\(а_2\) → второй срок.
\(а_3\) → третий срок.
\(а_n\) → любой срок.
Закон возникновения числовой последовательности
У нас могут быть последовательности различных элементов, таких как месяцы, имена, дни недели и другие. Апоследовательность — это числовая последовательность, если она включает числа. Мы можем составить последовательность четных чисел, нечетных чисел, простые числа, кратные 5 и т. д.
Последовательность представляется с использованием закона возникновения. Закон возникновения — это не что иное, как список элементов числовой последовательности..
Примеры:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → последовательность нечетных чисел от 1 до 15.
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → последовательность чисел, кратных 5.
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → чередующаяся последовательность между 1 и -1.
Какова классификация числовых последовательностей?
Мы можем классифицировать последовательности двумя разными способами. Один из них учитывает количество элементов, а другой учитывает поведение этих элементов.
→ Классификация числовой последовательности по количеству элементов
Когда мы классифицируем последовательность по количеству элементов, есть две возможные классификации: конечная последовательность и бесконечная последовательность.
◦ Конечная числовая последовательность
Последовательность является конечной, если она имеет ограниченное число элементов.
Примеры:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ Бесконечная числовая последовательность
Последовательность бесконечна, если она имеет неограниченное количество элементов.
Примеры:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ Классификация числовой последовательности по поведению последовательности
Другой способ классификации — по последовательному поведению. При этом последовательность может быть возрастающей, постоянной, колеблющейся или убывающей.
◦ Возрастающая числовая последовательность
Последовательность увеличивается, если терм всегда больше своего предшественника.
Примеры:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ Постоянная числовая последовательность
Последовательность является постоянной, когда все члены имеют одинаковое значение.
Примеры:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ Убывающая числовая последовательность
Последовательность убывающая, если ее члены всегда меньше своих предшественников.
Примеры:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ Осциллирующая числовая последовательность
Последовательность является колеблющейся, если попеременно присутствуют члены, большие, чем их предшественники, и члены, меньшие, чем их предшественники.
Примеры:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
Закон формирования числовой последовательности
В некоторых случаях последовательность можно описать формулой, Однако, это не всегда возможно. Например, последовательность простых чисел — это четко определенная последовательность, однако мы не можем описать ее с помощью формулы. Зная формулу, мы смогли построить закон возникновения числовой последовательности.
Пример 1:
Последовательность четных чисел больше нуля.
\(a_n=2n\)
Обратите внимание, что при замене н для одного натуральное число (1, 2, 3, 4, ...), найдем четное число:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
Итак, у нас есть формула, которая генерирует члены последовательности, образованной четными числами, большими нуля:
(2, 4, 6, 8, ...)
Пример 2:
Последовательность натуральных чисел больше 4.
\(a_n=4+n\)
Вычислив члены последовательности, имеем:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
Записываем закон возникновения:
(5, 6, 7, 8,…)
См. также: Арифметическая прогрессия — частный случай числовой последовательности.
Решенные упражнения на числовую последовательность
Вопрос 1
Числовая последовательность имеет закон формирования, равный \(a_n=n^2+1\). Анализируя эту последовательность, можно утверждать, что значение 5-го члена последовательности будет:
А) 6
Б) 10
В) 11
Д) 25
Е) 26
Разрешение:
Альтернатива Е
Вычислив значение 5-го члена последовательности, имеем:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
вопрос 2
Проанализируйте следующие числовые последовательности:
Я. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Мы можем констатировать, что последовательности I, II и III классифицируются соответственно как:
А) возрастающая, колеблющаяся и убывающая.
Б) убывающая, возрастающая и колеблющаяся.
В) колеблющиеся, постоянные и возрастающие.
Г) убывающая, колеблющаяся и постоянная.
Д) колеблющаяся, убывающая и возрастающая.
Разрешение:
Альтернатива С
Анализируя последовательности, можно сказать, что:
Я. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
Он колеблется, поскольку есть термины, которые больше, чем их предшественники, и термины, которые меньше, чем их предшественники.
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
Она постоянна, так как члены последовательности всегда одни и те же.
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Оно увеличивается, так как сроки всегда больше, чем у предшественников.