Мы знаем как многочлен выражение, обозначающее алгебраическую сумму непохожих одночленов, то есть многочлен равен один алгебраическое выражение между одночленами. Мономиум - это алгебраический термин, который имеет коэффициент и буквальную часть.
Когда между многочленами есть похожие члены, можно выполнить сокращение его сроков при сложении и или вычитании двух многочленов. Также возможно умножить два полинома через свойство дистрибутивности. Деление осуществляется клавишным методом.
Читайте тоже: Полиномиальное уравнение - уравнение, имеющее полином, равный 0
Что такое мономы?
Чтобы понять, что такое многочлен, важно сначала понять значение монома. Алгебраическое выражение известно как мономиум, когда оно имеет цифры и буквы и их показатели разделены только умножением. Число называется коэффициентом, а буквы и их показатели - буквальной частью.
Примеры:
2x² → 2 - коэффициент; x² - буквальная часть.
√5ax → √5 - коэффициент; топор - буквальная часть.
b³yz² → 1 - коэффициент; b³yz² - это буквальная часть.
Что такое многочлен?
Многочлен - это не что иное, как алгебраическая сумма мономов, то есть это больше одночлены, отделенные друг от друга сложением или вычитанием.
Примеры:
ax² + на + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
Вообще говоря, многочлен может иметь несколько членов, алгебраически он представлен следующим образом:
ВнетИкснет +(п-1) Икс(п-1) +… +2x² + a1х + а
Смотрите также: Какие классы многочленов?
степень полинома
Чтобы найти степень многочлена, давайте разделим его на два случая: когда у него одна переменная и когда у него больше переменных. Степень полинома определяется выражением степень наибольшего его одночлена в обоих случаях.
Довольно часто работают с многочленом, который имеет только одну переменную. Когда это произойдет, O большой мономиум степень что указывает на степень полинома равен наибольшему показателю переменной:
Примеры:
Полиномы с одной переменной
a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → обратите внимание, что переменная - это x, а наибольший показатель, который она имеет, равен 3, так что это полином степени 3.
б) 2 года5 + 4y² - 2y + 8 → переменная y, а наибольший показатель степени равен 5, так что это полином степени 5.
Когда многочлен имеет более одной переменной в одночлене, чтобы найти степень этого члена, необходимо Добавлять-если степень экспоненты каждой из переменных. Таким образом, степень многочлена в этом случае по-прежнему равна степени наибольшего одночлена, но необходимо позаботиться о добавлении показателей переменных каждого одночлена.
Примеры:
а) 2xy + 4x²y³ - 5y4
Анализируя буквальную часть каждого термина, мы должны:
ху → 2 класс (1 + 1)
x²y³ → степень 5 (2 + 3)
y³ → 3 класс
Обратите внимание, что наибольший член имеет степень 5, так что это полином пятой степени.
б) 8a²b - ab + 2a²b²
Анализируя буквальную часть каждого мономия:
a²b → 3 класс (2 + 1)
ab² → степень 2 (1 + 1)
a²b² → 4 класс (2 + 2)
Таким образом, многочлен имеет степень 4.
Добавление полиномов
К сложение между двумя многочленами, давайте выполним редукция подобных одночленов. Два монома подобны, если имеют равные буквальные части. Когда это происходит, можно упростить полином.
Пример:
Пусть P (x) = 2x² + 4x + 3 и Q (x) = 4x² - 2x + 4. Найдите значение P (x) + Q (x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Поиск похожих терминов (имеющих одинаковые буквальные части):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Теперь добавим похожие одночлены:
(2 + 4) x² + (4-2) х + 3 + 4
6x² + 2x +7
Полиномиальное вычитание
Вычитание мало чем отличается от сложения. Важная деталь заключается в том, что сначала нам нужно написать противоположный многочлен прежде чем проводить упрощение аналогичных терминов.
Пример:
Данные: P (x) = 2x² + 4x + 3 и Q (x) = 4x² - 2x + 4. Вычислите P (x) - Q (x).
Многочлен -Q (x) противоположен Q (x), чтобы найти противоположность Q (x), просто поменяйте знак каждого из его членов, поэтому мы должны:
-Q (x) = -4x² + 2x - 4
Затем рассчитаем:
Р (х) + (-Q (х))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Упрощая аналогичные термины, мы имеем:
(2–4) x² + (4 + 2) x + (3–4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Полиномиальное умножение
Чтобы произвести умножение двух многочленов, воспользуемся известным распределительное свойство между двумя многочленами, производя умножение одночленов первого многочлена на одночлены второго.
Пример:
Пусть P (x) = 2a² + b и Q (x) = a³ + 3ab + 4b². Вычислите P (x) · Q (x).
Р (х) · Q (х)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Применяя распределительное свойство, мы получим:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2-й5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Теперь, если они существуют, мы можем упростить аналогичные термины:
2-й5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Обратите внимание, что единственные похожие одночлены выделены оранжевым цветом, упрощая между ними, мы получим следующий многочлен в качестве ответа:
2-й5 + (6 + 1) a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2-й5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Также доступ: Как делать алгебраическое умножение дробей?
полиномиальное деление
выполнить деление многочленов может быть довольно трудоемким, мы используем то, что называется метод ключей, но для этого есть несколько способов. Деление двух многочленов это возможно только в том случае, если степень делителя меньше. Разделив многочлен P (x) на многочлен D (x), мы ищем многочлен Q (x) такой, что:
Таким образом, по алгоритму деления имеем: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → делимое
D (x) → делитель
Q (x) → частное
R (x) → остаток
При операции деления многочлен P (x) делится на многочлен D (x), если остаток равен нулю.
Пример:
Давайте действовать, разделив многочлен P (x) = 15x² + 11x + 2 на многочлен D (x) = 3x + 1.
Мы хотим поделиться:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1 шаг: мы разделяем первый моном дивиденда с первым делителем:
15x²: 3x = 5x
2-й шаг: мы умножаем 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x и вычитаем результат P (x). Для выполнения вычитания необходимо поменять местами знаки результата умножения, найдя многочлен:
3 шаг: выполняем деление первого члена результата вычитания на первый член делителя:
6x: 3x = 2
4-й шаг: поэтому мы имеем (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Поэтому мы должны:
Q (х) = 5x + 2
R (х) = 0
Читайте тоже: Практический прием Брио-Руффини - деление многочленов
Решенные упражнения
Вопрос 1 - Каким должно быть значение m, чтобы многочлен P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m имел степень 2?
А) 3
Б) -3
В) ± 3
Г) 9
E) -9
разрешение
Альтернатива А
Чтобы P (x) имел степень 2, коэффициент при x³ должен быть равен нулю, а коэффициент при x² должен отличаться от нуля.
Итак, будем делать:
м² - 9 = 0
м² = 9
м = ± 9
м = ± 3
С другой стороны, m + 3 ≠ 0.
Итак, м -3.
Таким образом, в качестве решения первого уравнения у нас есть m = 3 или m = -3, однако для второго мы имеем m ≠ -3, поэтому единственное решение, которое придает P (x) степень 2, это: m = 3.
Вопрос 2 - (IFMA 2017) Периметр фигуры можно записать полиномом:
А) 8x + 5
Б) 8х + 3
В) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
разрешение
Альтернатива D
Из изображения, когда мы анализируем заданную длину и ширину, мы знаем, что периметр - это сумма всех сторон. Поскольку длина и высота одинаковы, мы просто умножаем сумму заданных многочленов на 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
