А единичная матрица это особый вид главное управление. Мы знаем как тождественную матрицу Iн квадратная матрица порядка n, у которой все члены на диагонали равны 1, а члены, не принадлежащие главной диагонали, равны 0. Единичная матрица считается нейтральным элементом умножения, то есть если мы умножаем матрицу М по единичной матрице, находим в итоге саму матрицу М.
Смотрите также: Что такое определитель матрицы?
Резюме о матрице идентичности
Единичная матрица представляет собой квадратную матрицу, элементы главной диагонали которой равны 1, а остальные элементы равны 0.
Имеются единичные матрицы разного порядка. Представим единичную матрицу порядка н я н.
Единичная матрица является нейтральным элементом матричного умножения, то есть \( А\cdot I_n=A.\)
Произведение квадратной матрицы и обратной к ней матрицы является единичной матрицей.
Что такое тождественная матрица?
Матрица тождества представляет собой специальный тип квадратной матрицы. Квадратная матрица называется единичной, если все ее элементы на главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0. Затем в каждой единичной матрице:
➝ Типы матрицы идентичности
Имеются единичные матрицы разного порядка. приказ н представлен ян. Ниже приведены некоторые матрицы других порядков.
Матрица идентичности порядка 1:
\(I_1=\влево[1\вправо]\)
Индивидуальная матрица порядка 2:
\(I_2=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
Матрица идентичности порядка 3:
\(I_3=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Матрица идентичности порядка 4:
\(I_4=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Матрица идентичности порядка 5:
\(I_5=\left[\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Последовательно мы можем написать единичные матрицы разных порядков.
Свойства матрицы идентичности
Единичная матрица имеет важное свойство, так как она является нейтральным элементом произведения между матрицами. Это значит, что любая матрица, умноженная на единичную матрицу, равна самой себе. Таким образом, для матрицы M порядка н,у нас есть:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
Еще одним важным свойством единичной матрицы является то, что произведение квадратной матрицы и ее обратная матрица является единичной матрицей. Дана квадратная матрица M порядка н, произведение M на его обратное определяется выражением:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Читайте также: Что такое треугольная матрица?
Умножение единичной матрицы
Когда мы умножаем матрицу M на единичную матрицу порядка н, в результате получаем матрицу M. Давайте посмотрим ниже на пример произведения матрицы M порядка 2 на единичную матрицу порядка 2.
\(A\ =\ \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right) \) Это \(I_n=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)
Предположим, что:
\(А\cdot I_n=B\)
У нас есть:
\(B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)\)
Таким образом, произведение A на \(В\) это будет:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Обратите внимание, что условия матрицы B идентичны условиям матрицы A, то есть:
\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Пример:
Существование М Матрица \(M=\ \left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\), вычислить произведение между матрицей М и матрица \(I_3\).
Разрешение:
Выполняя умножение, имеем:
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\\\конец{матрица}\справа]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1 \ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ +\ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \кдот\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\влево(-2\вправо)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\влево(-2\вправо)\ cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot1\\\end{matrix}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\)
Решенные упражнения на единичную матрицу
Вопрос 1
Существует квадратная матрица третьего порядка, которая определяется формулой \(a_{ij}=1 \) когда \(я=j\) Это \(а_{ij}=0\) Это когда \(i\neq j\). Эта матрица выглядит так:
А) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
Б) \( \left[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)
Вт) \( \left[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Д) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
И) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
Разрешение:
Альтернатива D
Анализируя матрицу, имеем:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(а_{11}=а_{22}=а_{33}=1\)
Итак, матрица равна:
\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
вопрос 2
(UEMG) Если обратная матрица \(A=\left[\begin{matrix}2&3\\3&x\\\end{matrix}\right]\) é \( \left[\begin{matrix}5&-3\\-3&2\\\end{matrix}\right]\), значение х равно:
А) 5
Б) 6
В) 7
Г) 9
Разрешение:
Альтернатива А
Перемножая матрицы, мы понимаем, что их произведение равно единичной матрице. Вычисляя произведение второй строки матрицы на первый столбец обратной к ней, имеем:
\(3\cdot5+x\cdot\влево(-3\вправо)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(х=\фракция{-15}{-3}\)
\(х=5\\)
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm
