А сферическая крышка и геометрическое тело получается при пересечении сферы плоскостью, разделяющей ее на два геометрических тела. Сферическая шапка считается круглым телом, потому что, как и сфера, имеет округлую форму. Для расчета площади и объема сферической шапки воспользуемся специальными формулами.
Читайте также: Ствол конуса - геометрическое тело, образованное дном конуса при выполнении сечения, параллельного основанию.
Резюме о сферической крышке
- Сферическая шапка представляет собой геометрическое тело, полученное при разделении сферы плоскостью.
- Основными элементами сферической шапки являются радиус сферы, радиус сферической шапки и высота сферической шапки.
- Сферическая шапка — это не многогранник, а круглое тело.
- Если плоскость делит сферу пополам, то сферическая шапка образует полусферу.
- Можно рассчитать радиус сферической шапки, используя теорему Пифагора, организованную следующим образом:
\(\ влево (Rh\вправо) ^ 2 + r ^ 2 = R ^ 2 \)
- Площадь сферической шапки можно рассчитать по формуле:
\(A=2\pi rh\ \)
- Объем сферической крышки можно рассчитать по следующей формуле:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)
Что такое сферическая крышка?
сферическая крышка геометрическое тело, полученное, когда сечение мяч общий плоский. Когда мы разрезаем сферу плоскостью, мы делим эту сферу на две сферические шапочки. Когда мы делим сферу пополам, сферическая крышка называется полусферой.
Элементы сферической крышки
В сферической шапке основными элементами являются радиус сферы, радиус сферической шапки и высота сферической шапки.
- R → радиус сферы.
- r → радиус сферической шапки.
- h → высота сферического колпака.
Сферическая шапка – это многогранник или круглое тело?
Мы видим, что крышка представляет собой геометрическое тело. Поскольку он имеет круглое основание и закругленную поверхность, сферическая крышка считается круглое тело, также известное как тело вращения. Стоит упомянуть, что многогранник имеет лица, образованные многоугольники, чего нельзя сказать о сферической крышке, основание которой образовано круг.
Как рассчитать радиус сферической шапки?
Чтобы рассчитать длину радиуса сферической крышки, необходимо знать длину высоты h сферической шапки и длину радиуса R сферы, потому что, как мы можем видеть на следующем изображении, существует связь по Пифагору.
Обратите внимание, что у нас есть прямоугольный треугольник, треугольник OO’B, с гипотенузой размером R и катетами размером R – h и r. Применение теорема Пифагора, Мы должны:
\(\ влево (Rh\вправо) ^ 2 + r ^ 2 = R ^ 2 \)
Пример:
Чему равен радиус шара высотой 2 см, если радиус шара равен 5 см?
Разрешение:
Применяя соотношение Пифагора:
\(\ влево (Rh\вправо) ^ 2 + r ^ 2 = R ^ 2 \)
\(\влево (5-2\вправо)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+г^2=25\)
\(9+г^2=25\)
\(г^2=25-9\)
\(г^2=16\)
\(г=\sqrt{16}\)
\(г=4\)
Как рассчитать площадь сферической шапки?
Чтобы рассчитать площадь сферической шапки, необходимо знать измерение длины радиуса R сферы и высоты h колпака. Для расчета площади поверхности используется формула:
\(A=2\pi Rh\)
- R → радиус сферы.
- h → высота сферического колпака.
Пример:
Сферический колпак получился из сферы, имеющей радиус 6 см и высоту 4 см. Так какова площадь поверхности этой сферической шапки?
Разрешение:
Вычисляя площадь сферической шапки, имеем:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ см^2\)
Как рассчитать объем сферической шапки?
Объем сферической шапки можно рассчитать двумя способами. Первая формула зависит от радиуса R сферы и высоты h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
Пример:
Каков объем сферической шапки, полученной из сферы радиусом 8 см, высота сферической шапки которой равна 6 см?
Разрешение:
Поскольку мы знаем значение R и h, воспользуемся первой формулой.
Р = 8
ч = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\right)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\влево (24-6\вправо)\)
\(V=12\pi\влево (18\вправо)\)
\(V=216\pi\ см^3\)
Другая формула объема сферической крышки учитывает радиус сферической крышки r и высоту крышки h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
Пример:
Каков объем сферической шапки радиусом 10 см и высотой 4 см?
Разрешение:
В этом случае имеем r = 10 см и h = 4 см. Зная значение радиуса сферической шапки и высоты, воспользуемся второй формулой:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3\cdot100+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (300+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (316\right)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(В\ок210,7\\пи\ см³\)
Смотрите также: Ствол пирамиды - геометрическое тело, образованное основанием пирамиды при поперечном сечении.
Решаемые упражнения на сферическую шапку
Вопрос 1
(Энем) Для украшения детского праздничного стола повар будет использовать шарообразную дыню диаметром 10 см, которая будет служить подставкой для нанизывания различных сладостей. Он снимет с дыни сферическую шляпку, как показано на рисунке, и, чтобы гарантировать устойчивость этой опоры, чтобы дыне было трудно катиться по столу, шеф-повар будет резать так, чтобы радиус r круглого разреза был не менее минус 3 см. С другой стороны, босс захочет иметь как можно больше площади в регионе, где будут вывешены сладости.
Для достижения всех своих целей повар должен срезать верхушку дыни на высоте h в сантиметрах, равной
А) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
Б)\( 10-\sqrt{91}\)
В) 1
Г) 4
Д) 5
Разрешение:
Альтернатива С
Мы знаем, что диаметр шара равен 10 см, поэтому его радиус равен 5 см, значит, ОВ = 5 см.
Если радиус сечения ровно 3 см, то имеем:
АО² + АВ² = ОБ²
АО² + 3² = 5²
АО² + 9 = 25
АО² = 25 – 9
АО² = 16
АО = \(\sqrt{16}\)
АО = 4 см
Поэтому:
ч + 4 = 5
ч = 5 – 4
ч = 1
вопрос 2
Сферическая шапка имеет площадь 144π см². Зная, что она имеет радиус 9 см, высота этой сферической шапки равна:
А) 8 см
Б) 10 см
В) 14 см
Г) 16 см
Е) 22 см
Разрешение:
Альтернатива А
Мы знаем это:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot ч\)
\(144\пи=18\пи ч\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=ч\)
Высота 8 см.
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm