При решении уравнения 2-й степени x2 - 6x + 9 = 0, находим два корня, равных 3. Используя теорему о разложении, разложим многочлен на множители и получим:
Икс2 - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)2
В этом случае мы говорим, что 3 является корнем кратности 2 или двойным корнем уравнения.
Таким образом, если факторизованный полином дает следующее выражение:
Можно сказать, что:
x = -5 является корнем с кратностью 3 или тройным корнем уравнения p (x) = 0
x = -4 является корнем с кратностью 2 или двойным корнем уравнения p (x) = 0
x = 2 является корнем с кратностью 1 или простым корнем уравнения p (x) = 0
В общем, мы говорим, что r является корнем кратности n, при n ≥ 1, уравнения p (x) = 0, если:
Обратите внимание, что p (x) делится на (x - r)м и что условие q (r) ≠ 0 означает, что r не является корнем q (x), и гарантирует, что кратность корня r не больше m.
Пример 1. Решите уравнение x4 - 9x3 + 23x2 - 3x - 36 = 0, учитывая, что 3 - двойной корень.
Решение: Рассмотрим p (x) как заданный многочлен. Таким образом:
Обратите внимание, что q (x) получается делением p (x) на (x - 3)2.
Разделив на практический прием Брио-Руффини, мы получим:
После деления мы видим, что коэффициенты многочлена q (x) равны 1, -3 и -4. Таким образом, q (x) = 0 будет: x2 - 3х - 4 = 0
Давайте решим приведенное выше уравнение, чтобы определить другие корни.
Икс2 - 3х - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
х = -1 или х = 4
Следовательно, S = {-1, 3, 4}
Пример 2. Напишите алгебраическое уравнение минимальной степени, такое, что 2 - это двойной корень, а - 1 - простой корень.
Решение: мы должны:
(х - 2) (х - 2) (х - (-1)) = 0
Или же
Марсело Ригонатто
Специалист по статистике и математическому моделированию
Бразильская школьная команда
Полиномы - Математика - Бразильская школа
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm