Прогрессии: какие, виды, формулы, примеры

Мы знаем как прогрессии частные случаи числовые последовательности. Есть два случая прогрессии:

• арифметическая прогрессия

• геометрическая прогрессия

Чтобы быть прогрессией, нам нужно проанализировать характеристики последовательности на предмет того, что мы называем причиной. когда прогресс арифметика, причина - это не что иное, как константа, которую мы добавляем к члену, чтобы найти его преемника в последовательности; сейчас при работе с прогрессией геометрический, причина имеет аналогичную функцию, только в этом случае причина - это постоянный член, на который мы умножаем член в последовательности, чтобы найти его преемника.

Из-за предсказуемое поведение прогрессии существуют конкретные формулы для нахождения любого члена в этих последовательностях, а также можно разработать формула для каждого из них (то есть одна для арифметики и одна для геометрической прогрессии), чтобы вычислить сумму Изнет первые сроки этой прогрессии.

Читайте тоже: Функции - что это такое и для чего?

Количество бобов на урожай ведет себя как геометрическая прогрессия.

числовая последовательность

Чтобы понять, что такое прогрессии, нам сначала нужно понять, что это такое. числовые последовательности. Как следует из названия, мы знаем числовую последовательность a набор чисел, соответствующих порядку, независимо от того, правильно он определен или нет. в отличие от наборы числовые значения, в которых порядок не имеет значения, в числовой последовательности порядок важен, например:

Последовательность (1, 2, 3, 4, 5) отличается от (5, 4, 3, 2, 1), которая отличается от последовательности (1, 5, 4, 3, 2). Даже если элементы одинаковые, поскольку порядок разный, значит, у нас разные последовательности.

Примеры:

Мы можем написать последовательности, образования которых легко увидеть:

а) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → последовательность четных чисел, меньших или равных 12.

б) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → регрессивная последовательность нечетных чисел от 17 до 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → известный как Последовательность Фибоначчи.

г) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4…) → хотя эту последовательность невозможно описать, как другие, легко предсказать, какими будут ее следующие члены.

В остальных случаях последовательности могут иметь полную случайность в своих значенияхв любом случае, чтобы быть последовательностью, важно иметь набор упорядоченных значений.

до 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

б) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Поскольку невозможно предсказать, кто следующие термины в букве b, мы все еще работаем над продолжением.

В общем, строки всегда представлены в круглых скобках (), следующим образом:

(В₁, а₂, The₃, а₄, The₅, а₆, а₇, а₈ …) → бесконечная последовательность

(В₁, а₂, The₃, а₄, The₅, а₆, а₇, а₈ … А_нет) → конечная последовательность

В обоих случаях мы имеем следующее представление:

В₁ → первый срок

В₂ → второй срок

В₃ → третий срок

.

.

.

В_нет → n-й член

Наблюдение: Очень важно, чтобы при представлении последовательности данные заключались в круглые скобки. Обозначение последовательности часто путают с обозначением множества. Набор представлен в фигурных скобках, и в наборе порядок не важен, что в данном случае имеет решающее значение.

(1, 2, 3, 4, 5) → последовательность

{1, 2, 3, 4, 5} → установить

Есть частные случаи последовательности, известные как прогрессии.

Смотрите также: Каков основной принцип счета?

Что такое прогрессии?

Последовательность определяется как прогрессия, когда у нее есть регулярность от одного семестра к другому, известный как причина. Есть два случая прогрессии: арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия. Чтобы знать, как различать каждый из них, нам нужно понять, в чем причина прогрессии и как эта причина взаимодействует с условиями последовательности.

Когда от одного члена к другому в последовательности у меня постоянная сумма, эта последовательность определяется как прогрессия, и в данном случае это арифметическая прогрессия. Это значение, которое мы постоянно складываем, называется отношением. Другой случай, когда последовательность геометрическая прогрессия, от одного члена к другому происходит умножение на постоянное значение. Аналогично, это значение является отношением геометрической прогрессии.

Примеры:

а) (1, 4, 7, 10, 13, 16…) → обратите внимание, что мы всегда добавляем 3 от одного члена к другому, поэтому у нас есть арифметическая прогрессия отношения, равного 3.

б) (1, 10, 100, 1000, 10000…) → в этом случае мы всегда умножаем на 10 от одного члена к другому, имея дело с геометрической прогрессией отношения 10.

в) (0, 2, 8, 26…) → в последнем случае есть только одна последовательность. Чтобы найти следующий член, мы умножаем его на 3 и прибавляем 2. В этом случае, даже если есть регулярность нахождения следующих членов, это всего лишь последовательность, а не арифметическая или геометрическая прогрессия.

арифметическая прогрессия

Когда мы работаем с числовыми последовательностями, те последовательности, в которых мы можем предсказать их следующие члены, довольно часто повторяются. Чтобы эта последовательность была классифицирована как арифметическая прогрессия, должен быть причина а. От первого члена следующий член построенный по сумме предыдущего члена по причине р.

Примеры:

а) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

Это последовательность, которую можно классифицировать как арифметическую прогрессию, потому что причина р = 3, а первый член равен 4.

б) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23…)

Эта последовательность представляет собой арифметическую прогрессию не без оснований. р = -5, а его первый член равен 7.

• Условия ОО

Во многих случаях наш интерес состоит в том, чтобы найти конкретный термин в прогрессии, не записывая всю последовательность. Зная значение первого члена и отношения, можно найти значение любого члена в арифметической прогрессии. Чтобы найти условия ариметической прогрессии, мы используем формулу:

В_нет = the₁+ (п - 1) г

Пример:

Найдите 25-й член АП с соотношением 3 и первым членом 12.

Данные р = 3,₁ = 12. Мы хотим найти 25-й член, то есть n = 25.

В_нет = the₁+ (п - 1) г

В₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

В₂₅ = 12 + 24 · 3

В₂₅ = 12 + 72

В₂₅ = 84

• Общий срок П.А.

Общая формула члена - это способ упростить формулу члена AP чтобы быстрее найти любой термин прогрессии. Как только первый член и причина известны, достаточно подставить в формулу член П.А., чтобы найти общий член арифметической прогрессии, который зависит только от значения нет.

Пример:

Найдите общий термин P.A., который имеет р = 3 и₁ = 2.

В_нет = 2 + (п -1) р

В_нет = 2 + (п -1) 3

В_нет = 2 + 3n - 3

В_нет = 2n - 1

Это общий термин P.A., который используется для поиска любого термина в этой прогрессии.

• Сумма сроков ОО

В сумма сроков ОО было бы довольно утомительно, если бы нужно было найти каждое из его терминов и сложить их. Есть формула для расчета суммы всех нет первые члены арифметической прогрессии:

Пример:

Найдите сумму всех нечетных чисел от 1 до 100.

Мы знаем, что нечетные числа представляют собой арифметическую прогрессию отношения 2: (1, 3, 5, 7… 99). В этой прогрессии 50 членов, так как от 1 до 100 половина чисел четные, а другая половина - нечетные.

Поэтому мы должны:

n = 50

В₁ = 1

В_нет = 99

Также доступ: Функция 1 степени - практическое использование арифметической прогрессии

Геометрическая прогрессия

Строку также можно классифицировать как прагрессия геометрический (PG). Чтобы последовательность была геометрической прогрессией, у нее должна быть причина, но в этом случае, чтобы найти следующий член из первого члена, мы выполняем умножение коэффициента на предыдущий срок.

Примеры:

а) (3, 6, 12, 24, 48…) → Геометрическая прогрессия отношения 2, и его первый член равен 3.

б) (20, 200, 2000, 20 000…) → Геометрическая прогрессия отношения 10, и его первый член равен 20.

• Срок действия PG

В геометрической прогрессии мы представляем причину буквы какие. Член геометрической прогрессии можно найти по формуле:

В_нет = the₁ · какие^{п - 1}

Пример:

Найдите 10-й член PG, зная, что какие = 2 и₁ = 5.

В_нет = the₁ · какие^{п - 1}

В₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

В₁₀ = 5 · 2⁹

В₁₀ = 5 · 512

В₁₀ = 2560

• Общий срок ПГ

Когда мы знаем первый член и причину, можно получить формулу общего члена из геометрической прогрессии, которая зависит исключительно от значения нет. Для этого нам просто нужно заменить первый член и отношение, и мы найдем уравнение, которое зависит только от значения нет.

Используя предыдущий пример, где отношение равно 2, а первый член равен 5, общий термин для этого GP:

В_нет = the₁ · какие^{п - 1}

В_нет = 5 · 2^{п - 1}

• Сумма сроков PG

Добавление всех терминов прогрессии потребовало бы много работы. Во многих случаях написание всей последовательности для достижения этой суммы занимает много времени. Чтобы облегчить этот расчет, геометрическая прогрессия имеет формулу, которая служит для расчета сумма нет первые элементы конечного PG:

Пример:

Найдите сумму первых 10 членов GP (1, 2, 4, 8, 16, 32…).

Обратите внимание, что коэффициент этого PG равен 2.

В₁ = 1

какие = 2

нет = 10

Читайте тоже: Экспоненциальная функция - практическое использование геометрической прогрессии

решенные упражнения

Вопрос 1 - Ученые наблюдают за определенной бактериальной культурой в течение нескольких дней. Один из них анализирует рост этой популяции и заметил, что в первый день было 100 бактерий; во втором - 300 бактерий; в третьем - 900 бактерий и так далее. Анализируя эту последовательность, можно сказать, что это:

А) арифметическая прогрессия отношения 200.

Б) геометрическая прогрессия отношения 200.

В) ариметическая прогрессия причины 3.

Г) геометрическая прогрессия отношения 3.

Д) последовательность, а не прогрессия.

разрешение

Альтернатива D.

Анализируя последовательность, получаем следующие термины:

Обратите внимание, что 900/300 = 3, а также 300/100 = 3. Таким образом, мы работаем с PG с коэффициентом 3, так как мы умножаем на три из первого члена.

Вопрос 2 - (Enem - PPL) Для новичка в беге был предусмотрен следующий ежедневный план тренировок: в первый день бег на 300 метров, а во второй - на 200 метров в день. Чтобы подсчитать свои результаты, он будет использовать чип, прикрепленный к его кроссовкам, чтобы измерить расстояние, пройденное во время тренировки. Учтите, что этот чип хранит в своей памяти максимум 9,5 км пробега / ходьбы и должен быть помещен в начало тренировки и выброшен после исчерпания места для резерва данных. Если этот спортсмен использует чип с первого дня тренировки, сколько дней подряд этот чип сможет хранить пробег этого ежедневного плана тренировок?

А) 7

Б) 8

В) 9

Г) 12

E) 13

разрешение

Альтернатива Б.

Анализируя ситуацию, мы знаем, что у нас есть PA с причиной 200 и начальным завершением равным 300.

Кроме того, мы знаем, что сумма S_нет = 9,5 км = 9500 метров.

С этими данными найдем термин a_нет, который представляет собой количество километров, записанное в последний день хранения.

Также стоит помнить, что любой термин a_нет можно записать как:

В_нет = the₁ + (п - 1)р

Учитывая уравнение 200n² + 400n - 19000 = 0, мы можем разделить все члены на 200, упростив уравнение и найдя: n² + 2n - 95 = 0.

Для дельты и бхаскары мы должны:

а = 1

b = 2

с = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Мы знаем, что 8,75 соответствует 8 дням и нескольким часам. В этом случае количество дней, в течение которых можно проводить измерение, равно 8.

Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm