Расчеты, относящиеся к площадям правильных плоских фигур, довольно легко выполнить благодаря существующим математическим формулам. В случае таких фигур, как треугольник, квадрат, прямоугольник, трапеции, ромбы, параллелограммы, среди прочего, достаточно связать формулы с фигурой и выполнить необходимые вычисления. В некоторых ситуациях требуются вспомогательные инструменты для получения областей, например областей под кривой. Для таких ситуаций мы используем вычисления с использованием представлений об интегрировании, разработанных Исааком Ньютоном и Лейбницем.
Мы можем алгебраически представить кривую на плоскости с помощью закона образования, называемого функцией. Интеграл функции был создан для определения площадей под кривой в декартовой плоскости. Вычисления с использованием интегралов имеют несколько приложений в математике и физике. Обратите внимание на следующую иллюстрацию:
Чтобы вычислить площадь разграниченной области (S), мы используем интегрированную функцию f от переменной x между диапазоном a и b:
Основная идея этого выражения - разделить разграниченную область на бесконечные прямоугольники, потому что интуитивно интеграл от f (x) соответствует сумме прямоугольников высоты f (x) и основания dx, где произведение f (x) на dx соответствует площади каждого прямоугольник. Сумма бесконечно малых площадей даст общую площадь поверхности под кривой.
Решая интеграл между пределами a и b, в результате мы получим следующее выражение:
Пример
Определите площадь области ниже, ограниченную параболой, определяемой выражением f (x) = - x² + 4, в диапазоне [-2,2].
Определение площади с помощью интеграции функций f (x) = –x² + 4.
Для этого нужно запомнить следующий прием интеграции:
Следовательно, площадь области, ограниченная функцией f (x) = –x² + 4, в диапазоне от -2 до 2, это 10,6 единиц площади.
Марк Ноа
Окончил математику
Бразильская школьная команда
Роли - Математика - Бразильская школа
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-sob-uma-curva.htm