Для вычисления определителей квадратных матриц порядка меньше или равного 3 (n≤3) у нас есть несколько практических правил выполнения этих вычислений. Однако, когда порядок больше 3 (n> 3), многие из этих правил неприменимы.
Итак, мы увидим теорему Лапласа, которая, используя концепцию кофактора, приводит вычисление определителей к правилам, применимым к любым квадратным матрицам.
Теорема Лапласа состоит в выборе одной из строк (строки или столбца) матрицы и сложении произведений элементов этой строки на их соответствующие кофакторы.
Алгебраическая иллюстрация:
Давайте посмотрим на пример:
Вычислите определитель матрицы C, используя теорему Лапласа:
Согласно теореме Лапласа, мы должны выбрать строку (строку или столбец) для вычисления определителя. Воспользуемся первым столбцом:
Нам нужно найти значения кофактора:
Таким образом, по теореме Лапласа определитель матрицы C определяется следующим выражением:
Обратите внимание, что не было необходимости вычислять сомножитель матричного элемента, который был равен нулю, в конце концов, когда мы умножаем сомножитель, результат в любом случае будет равен нулю. Поэтому, когда мы сталкиваемся с матрицами, в одной из строк которых много нулей, использование теоремы Лапласа становится интересным, так как не нужно будет вычислять несколько кофакторы.
Давайте посмотрим на пример этого факта:
Вычислите определитель матрицы B, используя теорему Лапласа:
Обратите внимание, что второй столбец - это строка с наибольшим количеством нулей, поэтому мы будем использовать эту строку для вычисления определителя матрицы с помощью теоремы Лапласа.
Следовательно, чтобы определить определитель матрицы B, просто найдите кофактор A22.
Таким образом, мы можем завершить вычисления определителя:
Det B = (- 1). (- 65) = 65
Габриэль Алессандро де Оливейра
Окончил математику
Бразильская школьная команда
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm