Метод завершения квадрата

Среди способов найти числовое значение x есть процесс, также известный как найти корни уравнения или же найти решение уравнения, выделяться, быть заметным: Формула Бхаскары это процесс комплектации квадратов. Последнему и посвящен сегодняшний текст.

Количество решений уравнения определяется его степенью. Следовательно, уравнения первой степени имеют только одно решение, уравнения третьей степени - три решения и квадратные уравнения имеют два решения, также называемых корнями..

Уравнения второй степени в редуцированной форме можно записать следующим образом:

топор² + bx + c = 0

метод завершения квадрата

В этом случае квадратное уравнение представляет собой трехчлен полного квадрата

Уравнения второй степени, полученные в результате замечательного произведения, известны как полный квадрат трехчлена. Чтобы найти его корни, мы воспользуемся методом, приведенным ниже:

Пример: Вычислить корни уравнения x² + 6х + 9 = 0.

Обратите внимание, что коэффициент b равен 6 = 2 · 3. Чтобы записать это в виде замечательного произведения, достаточно проверить, если c = 3

², что верно, поскольку 3² = 9 = с. Таким образом мы можем написать:

Икс² + 6х + 9 = (х + 3)² = 0

Обратите внимание, что примечательным произведением является произведение двух равных многочленов. В случае этого уравнения мы будем иметь:

(х + 3)² = (х + 3) (х + 3) = 0

Продукт равен нулю только тогда, когда один из его факторов равен нулю. Следовательно, для (x + 3) (x + 3) = 0 необходимо, чтобы (x + 3) = 0 или (x + 3) = 0. Отсюда два равных результата для уравнения x² + 6x + 9 = 0, которые равны: x = - 3 или x = - 3.

Коротко: решить уравнение x² + 6x + 9 = 0, напишите:

Икс² + 6x + 9 = 0

(х + 3)² = 0

(х + 3) (х + 3) = 0

x = - 3 или x = - 3

В этом случае квадратное уравнение не является трехчленом полного квадрата.

Уравнение второго, в котором коэффициент b и коэффициент c не удовлетворяют установленным выше соотношениям, не является трехчленом полного квадрата. В этом случае можно использовать выделенный выше метод решения с добавлением нескольких шагов. Обратите внимание на следующий пример:

Пример: Вычислить корни уравнения x² + 6х - 7 = 0.

Обратите внимание, что это уравнение не является трехчленом в виде полного квадрата. Для этого мы можем использовать следующие операции:

Обратите внимание, что b = 2 · 3, поэтому в первом члене должно появиться выражение x² + 6x + 9, потому что в этом выражении b = 2 · 3 и c = 3².

Для этой «трансформации» добавьте 3² над двумя членами этого уравнения «передайте» - 7 второму члену, выполните возможные операции и просмотрите результаты:

Икс² + 6x - 7 + 3² = 0 + 3²

Икс² + 6x + 3² = 3² + 7

Икс² + 6х + 9 = 9 + 7

Икс² + 6x + 9 = 16

(х + 3)² = 16

√ (х + 3)² = √16

x + 3 = 4 или x + 3 = - 4

Этот последний шаг должен быть разделен на два уравнения, так как корень из 16 может быть либо 4, либо - 4 (это происходит только в уравнениях. Если спросить, что такое корень 16, ответ будет просто 4). Итак, необходимо найти все возможные результаты. Продолжая:

x + 3 = 4 или x + 3 = - 4

x = 4 - 3 или x = - 4 - 3

x = 1 или x = - 7

В этом случае коэффициент «а» не равен 1

Предыдущие случаи предназначены для квадратных уравнений, в которых коэффициент «а» равен 1. Если коэффициент «а» отличается от 1, просто разделите все уравнение на значение «а» и продолжите вычисления так же, как и в предыдущем случае.

Пример: Вычислить 2x корни² + 16x - 18 = 0

Обратите внимание, что a = 2. Итак, разделите все уравнение на 2 и упростите результаты:

2x² + 16x – 18 = 0
 2 2 2 2

Икс² + 8x - 9 = 0

Как только это будет сделано, повторите процедуры предыдущего случая.

Икс² + 8x - 9 = 0

Икс² + 8х - 9 + 16 = 0 + 16

Икс² + 8х + 16 = 9 + 16

(х + 4)² = 25

√ (х + 4)² = √25

x + 4 = 5 или x + 4 = –5

x = 5-4 или x = - 5-4

x = 1 или x = - 9

Известные продукты и уравнения второй степени: происхождение метода завершения квадратов

Квадратичные уравнения очень похожи на замечательные произведения сумма квадрата а также квадрат разницы.

Квадрат суммы, например, представляет собой сумму квадратов двух одночленов. Смотреть:

(х + к)² = х² + 2kx + k²

Первый член указанного выше равенства известен как замечательный продукт и второй как полный квадрат трехчлена. Последнее очень похоже на уравнение второй степени. Смотреть:

Полный квадрат трехчлена: Икс² + 2kx + k²

Уравнение второй степени: топор² + bx + c = 0

Таким образом, если есть способ записать квадратное уравнение в виде замечательного произведения, возможно, есть способ найти свои результаты без использования формулы Бхаскара.

Для этого обратите внимание, что в упомянутом выше известном продукте a = 1, b = 2 · k и c = k². Таким образом, можно написать уравнения, отвечающие этим требованиям, в виде замечательного продукта.

Итак, посмотрите на коэффициенты в уравнении. Если «а» отличается от 1, разделите все уравнение на значение «а». В противном случае соблюдайте коэффициент «b». Числовое значение половины этого коэффициента должно равняться числовому значению квадратного корня из коэффициента «c». Математически, учитывая уравнение ax² + bx + c = 0, если a = 1 и дополнительно:

B = c
2

Итак, вы можете написать это уравнение так:

топор² + bx + c = (x + B) = 0
2

И его корни будут - В а также + b.
2 2

Отсюда вся теория используется для вычисления корней квадратных уравнений методом дополнения квадратов.

Луис Пауло Морейра
Окончил математику

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm