Среди способов найти числовое значение x есть процесс, также известный как найти корни уравнения или же найти решение уравнения, выделяться, быть заметным: Формула Бхаскары это процесс комплектации квадратов. Последнему и посвящен сегодняшний текст.
Количество решений уравнения определяется его степенью. Следовательно, уравнения первой степени имеют только одно решение, уравнения третьей степени - три решения и квадратные уравнения имеют два решения, также называемых корнями..
Уравнения второй степени в редуцированной форме можно записать следующим образом:
топор2 + bx + c = 0
метод завершения квадрата
В этом случае квадратное уравнение представляет собой трехчлен полного квадрата
Уравнения второй степени, полученные в результате замечательного произведения, известны как полный квадрат трехчлена. Чтобы найти его корни, мы воспользуемся методом, приведенным ниже:
Пример: Вычислить корни уравнения x2 + 6х + 9 = 0.
Обратите внимание, что коэффициент b равен 6 = 2 · 3. Чтобы записать это в виде замечательного произведения, достаточно проверить, если c = 3
2, что верно, поскольку 32 = 9 = с. Таким образом мы можем написать:Икс2 + 6х + 9 = (х + 3)2 = 0
Обратите внимание, что примечательным произведением является произведение двух равных многочленов. В случае этого уравнения мы будем иметь:
(х + 3)2 = (х + 3) (х + 3) = 0
Продукт равен нулю только тогда, когда один из его факторов равен нулю. Следовательно, для (x + 3) (x + 3) = 0 необходимо, чтобы (x + 3) = 0 или (x + 3) = 0. Отсюда два равных результата для уравнения x2 + 6x + 9 = 0, которые равны: x = - 3 или x = - 3.
Коротко: решить уравнение x2 + 6x + 9 = 0, напишите:
Икс2 + 6x + 9 = 0
(х + 3)2 = 0
(х + 3) (х + 3) = 0
x = - 3 или x = - 3
В этом случае квадратное уравнение не является трехчленом полного квадрата.
Уравнение второго, в котором коэффициент b и коэффициент c не удовлетворяют установленным выше соотношениям, не является трехчленом полного квадрата. В этом случае можно использовать выделенный выше метод решения с добавлением нескольких шагов. Обратите внимание на следующий пример:
Пример: Вычислить корни уравнения x2 + 6х - 7 = 0.
Обратите внимание, что это уравнение не является трехчленом в виде полного квадрата. Для этого мы можем использовать следующие операции:
Обратите внимание, что b = 2 · 3, поэтому в первом члене должно появиться выражение x2 + 6x + 9, потому что в этом выражении b = 2 · 3 и c = 32.
Для этой «трансформации» добавьте 32 над двумя членами этого уравнения «передайте» - 7 второму члену, выполните возможные операции и просмотрите результаты:
Икс2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
Икс2 + 6x + 32 = 32 + 7
Икс2 + 6х + 9 = 9 + 7
Икс2 + 6x + 9 = 16
(х + 3)2 = 16
√ (х + 3)2 = √16
x + 3 = 4 или x + 3 = - 4
Этот последний шаг должен быть разделен на два уравнения, так как корень из 16 может быть либо 4, либо - 4 (это происходит только в уравнениях. Если спросить, что такое корень 16, ответ будет просто 4). Итак, необходимо найти все возможные результаты. Продолжая:
x + 3 = 4 или x + 3 = - 4
x = 4 - 3 или x = - 4 - 3
x = 1 или x = - 7
В этом случае коэффициент «а» не равен 1
Предыдущие случаи предназначены для квадратных уравнений, в которых коэффициент «а» равен 1. Если коэффициент «а» отличается от 1, просто разделите все уравнение на значение «а» и продолжите вычисления так же, как и в предыдущем случае.
Пример: Вычислить 2x корни2 + 16x - 18 = 0
Обратите внимание, что a = 2. Итак, разделите все уравнение на 2 и упростите результаты:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
Икс2 + 8x - 9 = 0
Как только это будет сделано, повторите процедуры предыдущего случая.
Икс2 + 8x - 9 = 0
Икс2 + 8х - 9 + 16 = 0 + 16
Икс2 + 8х + 16 = 9 + 16
(х + 4)2 = 25
√ (х + 4)2 = √25
x + 4 = 5 или x + 4 = –5
x = 5-4 или x = - 5-4
x = 1 или x = - 9
Известные продукты и уравнения второй степени: происхождение метода завершения квадратов
Квадратичные уравнения очень похожи на замечательные произведения сумма квадрата а также квадрат разницы.
Квадрат суммы, например, представляет собой сумму квадратов двух одночленов. Смотреть:
(х + к)2 = х2 + 2kx + k2
Первый член указанного выше равенства известен как замечательный продукт и второй как полный квадрат трехчлена. Последнее очень похоже на уравнение второй степени. Смотреть:
Полный квадрат трехчлена: Икс2 + 2kx + k2
Уравнение второй степени: топор2 + bx + c = 0
Таким образом, если есть способ записать квадратное уравнение в виде замечательного произведения, возможно, есть способ найти свои результаты без использования формулы Бхаскара.
Для этого обратите внимание, что в упомянутом выше известном продукте a = 1, b = 2 · k и c = k2. Таким образом, можно написать уравнения, отвечающие этим требованиям, в виде замечательного продукта.
Итак, посмотрите на коэффициенты в уравнении. Если «а» отличается от 1, разделите все уравнение на значение «а». В противном случае соблюдайте коэффициент «b». Числовое значение половины этого коэффициента должно равняться числовому значению квадратного корня из коэффициента «c». Математически, учитывая уравнение ax2 + bx + c = 0, если a = 1 и дополнительно:
B = c
2
Итак, вы можете написать это уравнение так:
топор2 + bx + c = (x + B) = 0
2
И его корни будут - В а также + b.
2 2
Отсюда вся теория используется для вычисления корней квадратных уравнений методом дополнения квадратов.
Луис Пауло Морейра
Окончил математику
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm