Один приблизительный квадратный корень является конечным представлением иррациональное число. Во многих случаях при работе с квадратные корни, для наших расчетов достаточно оценки с несколькими знаками после запятой.
Калькулятор является важным инструментом в этом процессе. Его отображение, которое имеет ограниченное пространство, указывает на хорошее приближение для неточных квадратных корней. Но можно найти эти оценки и без помощи калькулятора, как мы увидим ниже.
Читать тоже: Укоренение — все об операции обратного потенцирования
Приблизительное резюме квадратного корня
Неточный квадратный корень является иррациональным числом.
Мы можем найти приблизительные значения для неточных квадратных корней.
Точность аппроксимации зависит от количества используемых знаков после запятой.
Аппроксимацию можно производить разными способами, в том числе и с помощью калькулятора.
Нахождение приближения y к квадратному корню из x означает, что y² очень близко к x, но y² не равно x.
Видео урок по приближенному квадратному корню
Как вычислить приблизительный квадратный корень?
Есть разные способы вычислить аппроксимацию квадратного корня. Один из них калькулятор! Например, когда мы пишем \(\sqrt{2}\) на калькуляторе и нажмите =, полученное число является приблизительным. То же самое и с \(\sqrt{3}\) Это \(\sqrt{5}\), которые также являются неточными квадратными корнями, то есть являются иррациональными числами.
Другой способ - использовать точные корни, близкие к изучаемому неточному корню. Это позволяет сравнивать десятичные представления и находить диапазон неточных корней. Таким образом, мы можем протестировать некоторые значения, пока не найдем хорошее приближение.
Звучит сложно, но не волнуйтесь: это процесс тестирования. Давайте посмотрим на некоторые примеры.
Примеры
Найдите приближение к двум десятичным знакам для \(\mathbf{\sqrt{5}}\).
пойми это \(\ квадратный{4}\) Это \(\sqrt{9}\) являются ближайшими точными корнями \(\sqrt{5}\). Помните, что чем больше подкоренное число, тем больше значение квадратного корня. Таким образом, мы можем заключить, что
\(\sqrt{4}
\(2
то есть, \(\sqrt5\) это число между 2 и 3.
Теперь время для тестирования: мы выбираем некоторые значения между 2 и 3 и проверяем, приближается ли каждое число в квадрате к 5. (Помните, что \(\sqrt5=а\) если \(а^2=5\)).
Для простоты начнем с чисел с одним десятичным знаком:
\(2,1^2=4,41\)
\(2,2^2=4,84\)
\(2,3^2=5,29\)
Обратите внимание, что нам даже не нужно продолжать синтаксический анализ чисел до одного десятичного знака: искомое число находится между 2,2 и 2,3.
\(2,2
Теперь, когда мы ищем аппроксимацию с двумя знаками после запятой, приступим к тестам:
\(2,21^2=4,8841\)
\(2,22^2=4,9284\)
\(2,23^2=4,9729\)
\(2,24^2=5,0176\)
Опять же, мы можем остановить анализ. Искомое число находится между 2,23 и 2,24.
\(2,23
Но и сейчас? Какое из этих значений с двумя десятичными знаками мы выбираем в качестве приближения \(\sqrt5\)? Оба варианта хороши, но учтите, что лучший тот, чей квадрат ближе всего к 5:
\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)
\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)
то есть, \(2,24^2 \) ближе к 5, чем \(2,23^2\).
Таким образом, наилучшее приближение к двум десятичным знакам для \(\sqrt5\) é 2,24. Мы пишем, что \(\sqrt5≈2,24\).
Найдите приближение к двум десятичным знакам для \(\mathbf{\sqrt{20}}\).
Мы могли бы начать так же, как и в предыдущем примере, то есть искать точные корни, подкоренные числа близки к 20, но обратите внимание, что можно уменьшить значение подкоренного и облегчить Счета:
\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)
Обратите внимание, что мы выполнили разложение подкоренного числа 20 и использовали свойство укоренения.
Сейчас как \(\sqrt20=2\sqrt5\), мы можем использовать аппроксимацию с двумя десятичными знаками для \(\sqrt5\) из предыдущего примера:
\(\sqrt{20} ≈2,2,24 \)
\(\sqrt{20} ≈4,48\)
Наблюдение: Поскольку мы используем приблизительное число (\(\sqrt5≈2,24\)), значение 4,48 может быть не лучшим приближением с двумя десятичными знаками для \(\sqrt{20}\).
Читайте также: Как вычислить кубический корень числа?
Различия между приблизительным квадратным корнем и точным квадратным корнем
Точный квадратный корень – это Рациональное число. пойми это \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) Это \(\sqrt{121}\) являются примерами точных квадратных корней, как \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0,16}=0,4\) Это \(\sqrt{121}=11\). Кроме того, когда мы применяем обратную операцию (т. потенциация с показателем 2) получаем подкоренное число. В предыдущих примерах мы имеем \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) Это \(11^2=121\).
Неточный квадратный корень является иррациональным числом (то есть число с бесконечными неповторяющимися десятичными разрядами). Таким образом, мы используем аппроксимации в его десятичном представлении. пойми это \(\кв2\), \(\sqrt3\) Это \(\sqrt6\) являются примерами неточных корней, потому что \(\sqrt2≈1,4142135\), \(\sqrt3≈1,7320508\) Это \(\sqrt6≈2,44949\). Кроме того, когда мы применяем обратную операцию (то есть потенцирование с показателем степени 2), мы получаем значение, близкое к подкоренному, но не равное ему. В предыдущих примерах мы имеем \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) Это \(2,44949^2=6,00000126\).
Решенные упражнения на приближенный квадратный корень
Вопрос 1
Расположите следующие числа в порядке возрастания: \(13,\sqrt{150},\sqrt{144},14\).
Разрешение
пойми это \(\sqrt{150}\) является неточным квадратным корнем и \(\sqrt{144}\) точно(\(\sqrt{144}=12\)). Таким образом, нам нужно только определить положение \(\sqrt{150}\).
Обратите внимание, что \(13=\sqrt{169}\). Учитывая, что чем больше подкоренное число, тем больше значение квадратного корня, мы имеем, что
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)
Поэтому, располагая числа в порядке возрастания, имеем
\(\sqrt{144}
вопрос 2
Среди следующих альтернатив, которая является наилучшей аппроксимацией числа с одним десятичным знаком \(\sqrt{54}\)?
а) 6,8
б) 7.1
в) 7.3
г) 7,8
д) 8.1
Разрешение
Альтернатива С
Обратите внимание, что \(\sqrt{49}\) Это \(\sqrt{64}\) являются ближайшими точными квадратными корнями из \(\sqrt{54}\). Как \(\sqrt{49}=7\) Это \(\sqrt{64}=8\), Мы должны
\(7
Давайте рассмотрим некоторые возможности аппроксимации с одним десятичным знаком для \(\sqrt{54}\):
\(7,1^2=50,41\)
\(7,2^2=51,84\)
\(7,3^2=53,29\)
\(7,4^2=54,76\)
Обратите внимание, что нет необходимости продолжать тесты. Кроме того, среди альтернатив 7,3 является лучшим приближением к одному десятичному знаку для \(\sqrt{54}\).
Мария Луиза Алвес Риццо
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-quadrada-aproximada.htm
