симметричная матрица является главное управление в котором каждый элемент \(а_{ij}\) равен элементу \(а_{дзи}\) для всех значений i и j. Следовательно, каждая симметричная матрица равна своей транспонированной. Также стоит упомянуть, что каждая симметричная матрица является квадратной и что главная диагональ действует как ось симметрии.
Читайте также:Сложение и вычитание матриц — как считать?
Аннотация о симметричной матрице
В симметричной матрице \(a_{ij}=a_{ji}\) для всех i и j.
Каждая симметричная матрица квадратная.
Каждая симметричная матрица равна своей транспонированной.
Элементы симметричной матрицы симметричны относительно главной диагонали.
Находясь в симметричной матрице \(a_{ij}=a_{ji}\) для всех i и j; в антисимметричной матрице, \(a_{ij}=-a_{ji}\) для всех i и j.
Что такое симметричная матрица?
Симметричная матрица квадратная матрица, где \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) для каждого i и каждого j. Это значит, что \(а_{12}=а_{21},а_{23}=а_{32},а_{13}=а_{13}\)и так далее для всех возможных значений i и j. Помните, что возможные значения i соответствуют строкам матрицы, а возможные значения j соответствуют столбцам матрицы.
Примеры симметричных матриц
\(\begin{bmatrix} 5 и 9 \\ 9 и 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Примеры несимметричных матриц (рассмотрите \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 и 8 \\ 9 и 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Важный: Сказать, что матрица несимметрична, значит показать, что \(a_{ij} ≠a_{ji}\) по крайней мере для некоторых i и j (что мы можем видеть, сравнивая предыдущие примеры). Это отличается от концепции антисимметричной матрицы, которую мы увидим позже.
Какими свойствами обладает симметричная матрица?
Каждая симметричная матрица квадратная
Обратите внимание, что определение симметричной матрицы основано на квадратных матрицах. Таким образом, каждая симметричная матрица имеет столько же строк, сколько и столбцов.
Каждая симметричная матрица равна своей транспонированной
Если А — матрица, то транспонированный (\(А^Т\)) определяется как матрица, строки которой являются столбцами A, а столбцы — строками A. Итак, если A — симметричная матрица, мы имеем \(А=А^Т\).
В симметричной матрице элементы «отражаются» относительно главной диагонали
Как \(a_{ij}=a_{ji}\) в симметричной матрице элементы выше главной диагонали являются «отражениями» элементов ниже диагонали (или наоборот) по отношению к диагонали, так что главная диагональ действует как ось симметрия.
В чем разница между симметричной матрицей и антисимметричной матрицей?
Если A — симметричная матрица, то \(a_{ij}=a_{ji}\) для всех i и всех j, как мы изучали. В случае антисимметричной матрицы ситуация иная. Если B — антисимметричная матрица, то \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) для каждого i и каждого j.
Обратите внимание, что это приводит к \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), то есть, элементы главной диагонали равны нулю. Следствием этого является то, что транспонирование антисимметричной матрицы равно ее противоположности, т. е. если B — антисимметричная матрица, то \(В^Т=-В\).
Примеры антисимметричных матриц
\(\begin{bmatrix} 0 и -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Смотрите также: Единичная матрица - матрица, в которой элементы главной диагонали равны 1, а остальные элементы равны 0.
Решенные упражнения на симметричной матрице
Вопрос 1
(Уницентро)
если матрица \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) симметричен, поэтому значение xy равно:
А) 6
Б) 4
В) 2
Г) 1
Е) -6
Разрешение:
Альтернатива А
Если данная матрица симметрична, то элементы в симметричных позициях равны (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Поэтому мы должны:
\(х = у - 1\)
\(х + 5 = 7\)
Замена первого уравнение во втором заключаем, что \(у=3\), скоро:
\(х=2\) Это \(ху=6\)
вопрос 2
(UFSM) Зная, что матрица \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) равно его транспонированию, значение \(2х+у\) é:
А) -23
Б) -11
С) -1
Г) 11
Д) 23
Разрешение:
Альтернатива С
Поскольку данная матрица равна своей транспонированной, то она является симметричной матрицей. Таким образом, элементы в симметричных положениях равны (\(a_{ij}=a_{ji}\)), то есть:
\(х^2=36\)
\(4-у=-7\)
\(-30=5x\)
По первому уравнению х=-6 или х=6. По третьему уравнению получаем правильный ответ: х= -6. По второму уравнению у=11.
Скоро:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Мария Луиза Алвес Риццо
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm