О апофема многоугольника — это отрезок с концами в центре многоугольника и в середине одной из сторон. Этот сегмент образует угол 90° с соответствующей стороной многоугольника.
Для вычисления меры апофемы необходимо учитывать характеристики рассматриваемого многоугольника. В зависимости от геометрической формы можно построить формулу для получения этого измерения. Важным наблюдением является то, что мера апофемы правильного многоугольника равна мере радиуса окружности, вписанной в многоугольник.
Читайте также: Что такое биссектриса?
Краткое содержание апофемы
Апофема – это отрезок многоугольника, соединяющий центр (точку пересечения серединных перпендикуляров) с серединой одной из сторон.
Угол между апофемой и соответствующей стороной многоугольника составляет 90°.
Мера апофемы правильного многоугольника равна мере радиуса окружности, вписанной в многоугольник.
Апофема ОМ равностороннего треугольника со стороной л определяется по формуле
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Апофема ОМ квадрата стороны л определяется по формуле
\(ОМ = \фрак{1}2\)
Апофема ОМ правильного шестиугольника с одной стороны л определяется по формуле
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Апофема пирамиды — это отрезок, соединяющий вершину с серединой одного из ребер основания, и его мера может быть получена по теореме Пифагора.
Примеры слова апофема
Чтобы найти апофему многоугольника, мы должны построить отрезок, соединяющий центр многоугольника с серединой одной из сторон. Помните, что центр многоугольника находится там, где сходятся биссектрисы.
В этих примерах апофема рассматривалась в плоских многоугольниках. Однако есть космический объект, у которого есть иная апофема: пирамида.
В пирамиде есть два типа апофемы: апофема основания, которая является апофемой многоугольника, образующего основание пирамиды, и апофема пирамиды, которая является отрезок, соединяющий вершину с серединой ребра основания (т. е. высота боковой грани основания). пирамида).
В приведенном ниже примере с квадратным основанием сегмент OM является апофемой основания, а сегмент VM является апофемой пирамиды, где M является серединой BC.
Каковы формулы апофемы?
Зная характеристики многоугольника, особенно правильного многоугольника, мы можем разработать формулы для вычисления меры апофемы. Давайте посмотрим, что это за формулы для основных правильных многоугольников.
Формула апофемы равностороннего треугольника
В случай равностороннего треугольника, высота и медиана относительно данной стороны одинаковы. Это означает, что центр многоугольника совпадает с барицентр треугольника. Таким образом, точка O делит высоту AM следующим образом:
\(AO = \frac{2}3 часа ночи\) Это \(OM=\frac{1}3 часа ночи\)
Помните, что мера высота равностороннего треугольника л дан кем-то:
\(Высота\ треугольник\ равносторонний=\frac{l\sqrt3}2\)
Следовательно, поскольку AM — это высота равностороннего треугольника ABC, а отрезок OM — это апофема треугольника, мы можем разработать следующее выражение для меры OM, учитывая, что сторона треугольника измеряет л:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Апофема квадратной формулы
В случае квадрата, мера апофемы соответствует половине длины стороны. Таким образом, если О — центр квадрата, М — середина одной из сторон, а л - длина стороны квадрата, поэтому формула апофемы ОМ имеет вид
\(ОМ=\фракция {l}2\)
Формула апофемы правильного шестиугольника
В правильном шестиугольнике апофема соответствует высоте равностороннего треугольника с вершинами на двух концах одной из сторон и в центре многоугольника. В приведенном ниже примере апофема OM правильного шестиугольника — это высота равностороннего треугольника OCD, где M — середина CD.
Как мы уже упоминали ранее, высота равностороннего треугольника известна. Таким образом, если сторона правильного шестиугольника имеет размеры л, то формула апофемы ОМ имеет вид
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Пирамида Апофема Формула
Меру апофемы пирамиды можно получить с помощью теорема пифагора в помощь. В приведенном ниже примере в квадратной пирамиде треугольник VOM представляет собой прямоугольник с катетами VO и OM и гипотенузой VM. Обратите внимание, что VO — высота пирамиды, OM — апофема основания, а VM — апофема пирамиды.
Таким образом, чтобы определить меру апофемы пирамиды, мы должны применить теорему Пифагора:
\((ВМ)^2=(ВО)^2+(ОМ)^2\)
Осторожный! VM — это высота равнобедренного треугольника, а не равностороннего. Значит, в данном случае мы не можем воспользоваться формулой высоты равностороннего треугольника.
Как рассчитывается апофема?
Для вычисления апофемы многоугольника или пирамиды можно воспользоваться построенными формулами или связать апофему с радиусом вписанной окружности.
Пример 1: Предположим, что в равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 3 см. Какова мера апофемы этого треугольника?
Поскольку апофема многоугольника равна радиусу вписанной окружности, апофема треугольника равна 3 см.
Пример 2: Чему равна апофема правильного шестиугольника со стороной 4 см?
Используя формулу апофемы правильного шестиугольника с \(л=4\) см, мы должны
\(Измерение\ апофемы=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ см\)
Читайте также: Все о заметных точках треугольника
Решаемые упражнения на апофему
Вопрос 1
Если пирамида высотой 4 см имеет апофему основания 3 см, то размер апофемы пирамиды равен
а) 5 см
б) 6 см
в) 7 см
г) 8 см
д) 9 см
Разрешение:
В пирамиде мы можем построить прямоугольный треугольник, в котором один катет является апофемой основания, другой катет является высотой пирамиды, а гипотенуза является апофемой пирамиды. Таким образом, применяя теорему Пифагора к гипотенузе меры x,
\(х^2=3^2+4^2\)
\(х = 5\ см\)
Альтернатива А.
вопрос 2
Если апофема квадрата равна y см, то сторона квадрата равна
) \(\frac{1}3г \) см
Б) \(\frac{1}2г \) см
в) у см
г) 2у см
д) 3г см
Разрешение
Апофема квадрата равна половине длины стороны квадрата. Следовательно, если размер апофемы равен y см, то размер квадрата равен 2y см.
Альтернатива Д.
Мария Луиза Алвес Риццо
Учитель математики