О среднеквадратичное отклонение является мерой дисперсии, как и дисперсия и коэффициент вариации. При определении стандартного отклонения мы можем установить диапазон вокруг среднего арифметического (деление между суммой чисел в списке и количеством добавленных чисел), где сосредоточена большая часть данных. Чем больше значение стандартного отклонения, тем больше изменчивость данных, то есть больше отклонение от среднего арифметического.
Читайте также: Мода, среднее и медиана — основные меры центральных тенденций.
Сводка стандартного отклонения
- Стандартное отклонение является мерой изменчивости.
- Стандартное отклонение обозначается строчной греческой буквой сигма (σ) или буквой s.
- Стандартное отклонение используется для проверки изменчивости данных относительно среднего значения.
- Стандартное отклонение определяет диапазон \(\влево[\мю-\сигма,\мю+\сигма\вправо]\), где находится большая часть данных.
- Чтобы вычислить стандартное отклонение, мы должны найти квадратный корень из дисперсии:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
Что такое стандартное отклонение?
Стандартное отклонение представляет собой мера дисперсии, принятая в статистике. Его использование связано с дисперсионная интерпретация, что также является мерой дисперсии.
На практике стандартное отклонение определяет интервал с центром в среднем арифметическом, в котором сосредоточена большая часть данных. Таким образом, чем больше значение стандартного отклонения, тем больше неравномерность данных (подробнее неоднородны), и чем меньше значение стандартного отклонения, тем меньше неравномерность данных (подробнее однородный).
Как рассчитать стандартное отклонение?
Чтобы рассчитать стандартное отклонение набора данных, мы должны найти квадратный корень из дисперсии. Итак, формула для расчета стандартного отклонения:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → задействованные данные.
- μ → среднее арифметическое данных.
- N → количество данных.
- \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right) )^2+\влево (x_3-\mu\вправо)^2+...+\влево (x_N-\mu\вправо)^2 \)
Последний элемент, относящийся к числителю подкоренного числа, указывает сумму квадратов разницы между каждой точкой данных и средним арифметическим. обратите внимание, что единица измерения стандартного отклонения та же единица измерения, что и данные Икс1,Икс2,Икс3,…,ИксНет.
Хотя запись этой формулы немного сложна, ее применение более простое и прямое. Ниже приведен пример использования этого выражения для расчета стандартного отклонения.
- Пример:
В течение двух недель в городе фиксировались следующие температуры:
Неделя/день |
Воскресенье |
Второй |
Третий |
Четвертый |
Пятый |
Пятница |
Суббота |
1 неделя |
29°С |
30°С |
31°С |
31,5°С |
28°С |
28,5°С |
29°С |
неделя 2 |
28,5°С |
27°С |
28°С |
29°С |
30°С |
28°С |
29°С |
В какие из двух недель температура в этом городе оставалась более стабильной?
Разрешение:
Чтобы проанализировать регулярность температуры, мы должны сравнить стандартные отклонения температур, зарегистрированных в 1 и 2 недели.
- Давайте сначала посмотрим на стандартное отклонение для недели 1:
Обратите внимание, что средний μ1 Это Нет1 они есть
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\приблизительно29,57\)
\(N_1=7 \) (7 дней в неделю)
Кроме того, нам нужно вычислить квадрат разницы между каждой температурой и средней температурой.
\(\влево (29-29,57\вправо)^2=0,3249\)
\(\влево (30-29,57\вправо)^2=0,1849\)
\(\влево (31-29,57\вправо)^2=2,0449\)
\(\влево (31,5-29,57\вправо)^2=3,7249\)
\(\влево (28-29,57\вправо)^2=2,4649\)
\(\влево (28,5-29,57\вправо)^2=1,1449\)
\(\влево (29-29,57\вправо)^2=0,3249\)
Суммируя результаты, мы получаем, что числитель подкоренного числа в формуле стандартного отклонения равен
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Таким образом, стандартное отклонение за неделю 1 равно
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \примерно 1,208\ °С\)
Примечание. Этот результат означает, что большая часть температур первой недели находится в интервале [28,36 °C, 30,77 °C], то есть в интервале \(\влево[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\вправо]\).
- Теперь давайте посмотрим на стандартное отклонение недели 2:
Следуя тем же рассуждениям, имеем
\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)
\(N_2=7\)
\(\влево (28,5-28,5\вправо)^2=0\)
\(\влево (27-28,5\вправо)^2=2,25\)
\(\влево (28-28,5\вправо)^2=0,25\)
\(\влево (29-28,5\вправо)^2=0,25\)
\(\влево (30-28,5\вправо)^2=2,25\)
\(\влево (28-28,5\вправо)^2=0,25\)
\(\влево (29-28,5\вправо)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Таким образом, стандартное отклонение недели 2 составляет
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \приблизительно 0,89\ °С\)
Этот результат означает, что большинство температур второй недели находится в диапазоне \(\влево[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\вправо]\), то есть диапазон \(\влево[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\вправо]\).
пойми это \(\сигма_2, то есть стандартное отклонение для второй недели меньше стандартного отклонения для первой недели. Таким образом, на 2-й неделе температуры были более регулярными, чем на 1-й неделе.
Какие бывают виды стандартного отклонения?
Типы стандартного отклонения связаны с типом организации данных.. В предыдущем примере мы работали со стандартным отклонением разгруппированных данных. Чтобы вычислить стандартное отклонение набора иначе организованных данных (например, сгруппированных данных), вам нужно будет скорректировать формулу.
В чем разница между стандартным отклонением и дисперсией?
стандартное отклонение это квадратный корень дисперсии:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
При использовании дисперсии для определения изменчивости набора данных результат имеет квадрат единицы данных, что затрудняет его анализ. Таким образом, стандартное отклонение, которое имеет ту же единицу измерения, что и данные, является возможным инструментом для интерпретации результата дисперсии.
Узнать больше:Абсолютная частота — сколько раз один и тот же ответ появлялся во время сбора данных.
Решенные упражнения на стандартное отклонение
Вопрос 1
(FGV) В классе из 10 учеников оценки учеников при оценивании были следующими:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
Стандартное отклонение этого списка составляет приблизительно
А) 0,8.
Б) 0,9.
В) 1.1.
Г) 1.3.
Е) 1,5.
Разрешение:
Альтернатива С.
Согласно заявлению, Н = 10. Среднее значение этого списка
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
Более того,
\(\влево (6-8\вправо)^2=4\)
\(\влево (7-8\вправо)^2=1\)
\(\влево (8-8\вправо)^2=0\)
\(\влево (9-8\вправо)^2=1\)
\(\влево (10-8\вправо)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Таким образом, стандартное отклонение этого списка равно
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\приблизительно1.1\)
вопрос 2
Рассмотрите приведенные ниже утверждения и оцените каждое из них как T (верно) или F (неверно).
я. Квадратный корень из дисперсии является стандартным отклонением.
II. Стандартное отклонение не имеет отношения к среднему арифметическому.
III. Дисперсия и стандартное отклонение являются примерами мер дисперсии.
Правильный порядок сверху вниз:
А) В-В-Ф
Б) Ф-Ф-В
В) Ф-В-Ф
Г) Ф-Ф-Ф
Д) В-Ф-В
Разрешение:
альтернатива Е.
я. Квадратный корень из дисперсии является стандартным отклонением. (истинный)
II. Стандартное отклонение не имеет отношения к среднему арифметическому. (ЛОЖЬ)
Стандартное отклонение указывает интервал вокруг среднего арифметического, в который попадает большая часть данных.
III. Дисперсия и стандартное отклонение являются примерами мер дисперсии. (истинный)
Мария Луиза Алвес Риццо
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm