О среднеквадратичное отклонение является мерой дисперсии, как и дисперсия и коэффициент вариации. При определении стандартного отклонения мы можем установить диапазон вокруг среднего арифметического (деление между суммой чисел в списке и количеством добавленных чисел), где сосредоточена большая часть данных. Чем больше значение стандартного отклонения, тем больше изменчивость данных, то есть больше отклонение от среднего арифметического.
Читайте также: Мода, среднее и медиана — основные меры центральных тенденций.
Темы этой статьи
- 1 - Сводка стандартного отклонения
- 2 - Что такое стандартное отклонение?
- 3 - Как рассчитать стандартное отклонение?
- 4 - Какие бывают типы стандартного отклонения?
- 5 - В чем разница между стандартным отклонением и дисперсией?
- 6 - Решенные упражнения на стандартное отклонение
Сводка стандартного отклонения
- Стандартное отклонение является мерой изменчивости.
- Стандартное отклонение обозначается строчной греческой буквой сигма (σ) или буквой s.
- Стандартное отклонение используется для проверки изменчивости данных относительно среднего значения.
- Стандартное отклонение определяет диапазон \(\влево[\мю-\сигма,\мю+\сигма\вправо]\), где находится большая часть данных.
- Чтобы вычислить стандартное отклонение, мы должны найти квадратный корень из дисперсии:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
Что такое стандартное отклонение?
Стандартное отклонение представляет собой мера дисперсии, принятая в статистике. Его использование связано с дисперсионная интерпретация, что также является мерой дисперсии.
На практике стандартное отклонение определяет интервал с центром в среднем арифметическом, в котором сосредоточена большая часть данных. Таким образом, чем больше значение стандартного отклонения, тем больше неравномерность данных (подробнее неоднородны), и чем меньше значение стандартного отклонения, тем меньше неравномерность данных (подробнее однородный).
Не останавливайся сейчас... После рекламы будет больше ;)
Как рассчитать стандартное отклонение?
Чтобы рассчитать стандартное отклонение набора данных, мы должны найти квадратный корень из дисперсии. Итак, формула для расчета стандартного отклонения:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → задействованные данные.
- μ → среднее арифметическое данных.
- N → количество данных.
- \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right) )^2+\влево (x_3-\mu\вправо)^2+...+\влево (x_N-\mu\вправо)^2 \)
Последний элемент, относящийся к числителю подкоренного числа, указывает сумму квадратов разницы между каждой точкой данных и средним арифметическим. обратите внимание, что единица измерения стандартного отклонения та же единица измерения, что и данные Икс1,Икс2,Икс3,…,ИксНет.
Хотя запись этой формулы немного сложна, ее применение более простое и прямое. Ниже приведен пример использования этого выражения для расчета стандартного отклонения.
- Пример:
В течение двух недель в городе фиксировались следующие температуры:
Неделя/день |
Воскресенье |
Второй |
Третий |
Четвертый |
Пятый |
Пятница |
Суббота |
1 неделя |
29°С |
30°С |
31°С |
31,5°С |
28°С |
28,5°С |
29°С |
неделя 2 |
28,5°С |
27°С |
28°С |
29°С |
30°С |
28°С |
29°С |
В какие из двух недель температура в этом городе оставалась более стабильной?
Разрешение:
Чтобы проанализировать регулярность температуры, мы должны сравнить стандартные отклонения температур, зарегистрированных в 1 и 2 недели.
- Давайте сначала посмотрим на стандартное отклонение для недели 1:
Обратите внимание, что средний μ1 Это Нет1 они есть
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\приблизительно29,57\)
\(N_1=7 \) (7 дней в неделю)
Кроме того, нам нужно вычислить квадрат разницы между каждой температурой и средней температурой.
\(\влево (29-29,57\вправо)^2=0,3249\)
\(\влево (30-29,57\вправо)^2=0,1849\)
\(\влево (31-29,57\вправо)^2=2,0449\)
\(\влево (31,5-29,57\вправо)^2=3,7249\)
\(\влево (28-29,57\вправо)^2=2,4649\)
\(\влево (28,5-29,57\вправо)^2=1,1449\)
\(\влево (29-29,57\вправо)^2=0,3249\)
Суммируя результаты, мы получаем, что числитель подкоренного числа в формуле стандартного отклонения равен
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Таким образом, стандартное отклонение за неделю 1 равно
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \примерно 1,208\ °С\)
Примечание. Этот результат означает, что большая часть температур первой недели находится в интервале [28,36 °C, 30,77 °C], то есть в интервале \(\влево[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\вправо]\).
- Теперь давайте посмотрим на стандартное отклонение недели 2:
Следуя тем же рассуждениям, имеем
\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)
\(N_2=7\)
\(\влево (28,5-28,5\вправо)^2=0\)
\(\влево (27-28,5\вправо)^2=2,25\)
\(\влево (28-28,5\вправо)^2=0,25\)
\(\влево (29-28,5\вправо)^2=0,25\)
\(\влево (30-28,5\вправо)^2=2,25\)
\(\влево (28-28,5\вправо)^2=0,25\)
\(\влево (29-28,5\вправо)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Таким образом, стандартное отклонение недели 2 составляет
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \приблизительно 0,89\ °С\)
Этот результат означает, что большинство температур второй недели находится в диапазоне \(\влево[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\вправо]\), то есть диапазон \(\влево[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\вправо]\).
пойми это \(\сигма_2, то есть стандартное отклонение для второй недели меньше стандартного отклонения для первой недели. Таким образом, на 2-й неделе температуры были более регулярными, чем на 1-й неделе.
Какие бывают виды стандартного отклонения?
Типы стандартного отклонения связаны с типом организации данных.. В предыдущем примере мы работали со стандартным отклонением разгруппированных данных. Чтобы вычислить стандартное отклонение набора иначе организованных данных (например, сгруппированных данных), вам нужно будет скорректировать формулу.
В чем разница между стандартным отклонением и дисперсией?
стандартное отклонение это квадратный корень дисперсии:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
При использовании дисперсии для определения изменчивости набора данных результат имеет квадрат единицы данных, что затрудняет его анализ. Таким образом, стандартное отклонение, которое имеет ту же единицу измерения, что и данные, является возможным инструментом для интерпретации результата дисперсии.
Узнать больше:Абсолютная частота — сколько раз один и тот же ответ появлялся во время сбора данных.
Решенные упражнения на стандартное отклонение
Вопрос 1
(FGV) В классе из 10 учеников оценки учеников при оценивании были следующими:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
Стандартное отклонение этого списка составляет приблизительно
А) 0,8.
Б) 0,9.
В) 1.1.
Г) 1.3.
Е) 1,5.
Разрешение:
Альтернатива С.
Согласно заявлению, Н = 10. Среднее значение этого списка
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
Более того,
\(\влево (6-8\вправо)^2=4\)
\(\влево (7-8\вправо)^2=1\)
\(\влево (8-8\вправо)^2=0\)
\(\влево (9-8\вправо)^2=1\)
\(\влево (10-8\вправо)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Таким образом, стандартное отклонение этого списка равно
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\приблизительно1.1\)
вопрос 2
Рассмотрите приведенные ниже утверждения и оцените каждое из них как T (верно) или F (неверно).
я. Квадратный корень из дисперсии является стандартным отклонением.
II. Стандартное отклонение не имеет отношения к среднему арифметическому.
III. Дисперсия и стандартное отклонение являются примерами мер дисперсии.
Правильный порядок сверху вниз:
А) В-В-Ф
Б) Ф-Ф-В
В) Ф-В-Ф
Г) Ф-Ф-Ф
Д) В-Ф-В
Разрешение:
альтернатива Е.
я. Квадратный корень из дисперсии является стандартным отклонением. (истинный)
II. Стандартное отклонение не имеет отношения к среднему арифметическому. (ЛОЖЬ)
Стандартное отклонение указывает интервал вокруг среднего арифметического, в который попадает большая часть данных.
III. Дисперсия и стандартное отклонение являются примерами мер дисперсии. (истинный)
Мария Луиза Алвес Риццо
Учитель математики
См. здесь основные понятия и принципы статистики. Посмотрите также, как разделяется изучение статистики, и проследите за некоторыми ее приложениями.
Нажмите и изучите меры дисперсии, известные как амплитуда и девиация, и посмотрите примеры применения этих способов анализа информации.
Ознакомьтесь с определением и о том, как применять дисперсию и стандартное отклонение, две важные меры дисперсии.
Нажмите и узнайте, как вычислить среднее арифметическое, меру центральности, результат которой представляет собой список информации.
Квадратный корень — это математическая операция, используемая на всех школьных уровнях. Изучите номенклатуры и определения, а также их геометрическую интерпретацию.
Вы знаете, что такое дисперсия? Узнайте, как рассчитать и как использовать эту интересную меру дисперсии!
