НАШИ Теорема о внутренней биссектрисе была разработана специально для треугольники и показывает, что когда мы проводим внутреннюю биссектрису угла треугольника, точка встречи биссектрисы с противоположной стороной делит эту сторону на сегменты линии пропорционально прилежащим сторонам этого угла. С применением теоремы о внутренней биссектрисе можно определить значение стороны или сегментов треугольника, используя пропорцию между ними.
Смотрите также: Медиана, биссектриса и высота треугольника — в чем разница?
Резюме о внутренней теореме биссектрисы:
Биссектриса – это луч которая делит угол на два равных угла.
Теорема о внутренней биссектрисе специфична для треугольников.
Эта теорема доказывает, что биссектриса делит противоположную сторону на пропорциональные сегменты в стороны, прилегающие к угол.
Видео-урок по теореме о внутренней биссектрисе
Не останавливайся сейчас... После рекламы есть еще ;)
Что такое теорема о биссектрисе?
Прежде чем мы поймем, что говорит теорема о внутренней биссектрисе, важно знать, что такое
биссектриса угла. Это луч, который делит угол на две конгруэнтные части., то есть две части, имеющие одинаковую меру.
Понимая, что такое биссектриса, мы замечаем, что она существует во внутреннем углу треугольника. Когда мы начертим биссектрису угла треугольника, она разделит противоположную сторону на два отрезка. Что касается внутренней биссектрисы, его теорема гласит, что два отрезка, разделенные им, пропорциональны прилежащим сторонам угла.
Обратите внимание, что биссектриса делит сторону AC на два сегмента, AD и DC. Теорема о биссектрисе показывает, что:
\(\ frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Узнать больше: Теорема Пифагора - еще одна теорема, разработанная для треугольников.
Доказательство теоремы о внутренней биссектрисе
В треугольнике ABC ниже мы разграничим отрезок BD, который является биссектрисой этого треугольника. Далее проследим продолжение его стороны CB и отрезка AE параллельно BD:
Угол AEB равен углу DBC., потому что CE является прямой поперечно параллельным отрезкам AE и BD.
применяя Теорема Фалеса, мы пришли к выводу, что:
\(\ frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Сейчас мы осталось показать, что BE = AB.
Поскольку x является мерой углов ABD и DBC, анализируя угол ABE, получаем:
АВЕ = 180 - 2x
Если y является мерой угла EAB, мы имеем следующую ситуацию:
Мы знаем, что сумма внутренних углов треугольника ABE равен 180°, поэтому мы можем рассчитать:
180 - 2х + х + у = 180
– х + у = 180 – 180
– х + у = 0
у = х
Если угол x и угол y имеют одинаковую меру, треугольник ABE является равнобедренный. Следовательно, сторона АВ=АЕ.
Так как сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°, то в треугольнике ACE имеем:
х + 180 - 2х + у = 180
– х + у = 180 – 180
– х + у = 0
у = х
Поскольку y = x, треугольник ACE равнобедренный.. Следовательно, отрезки АЕ и АС равны. Замена AE на AC in причина, доказано, что:
\(\ frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Пример:
Найдите значение x в следующем треугольнике:
Анализируя треугольник, получаем следующее соотношение:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Перекрестное умножение:
6х = 8 ⋅ 3
6х = 24
\(х=\фракция{24}{6}\)
х = 4
Читайте также: Примечательные точки треугольника — что это такое?
Решенные упражнения по теореме о внутренней биссектрисе
Вопрос 1
Глядя на треугольник ниже, мы можем сказать, что значение x равно:
а) 9
Б) 10
В) 11
Г) 12
Д) 13
Разрешение:
Альтернатива D
Применяя внутреннюю теорему о биссектрисе, получаем следующий расчет:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Перекрестное умножение:
\(27x=18\\влево (30-x\вправо)\)
\(27х\=\540\-\18х\\)
\(27х\+\18х\=\540\\)
\(45х\=\540\\)
\(х=\фракция{540}{45}\)
\(х\ =\ 12\)
вопрос 2
Проанализируйте следующий треугольник, зная, что ваши измерения даны в сантиметрах.
Периметр треугольника АВС равен:
А) 75 см
Б) 56 см
В) 48 см
Г) 24 см
Д) 7,5 см
Разрешение:
Альтернатива С
Применяя теорему о биссектрисе, сначала найдем значение x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\\влево (4x-9\вправо)=2x\cdot7\)
\(20х\-\45\=\14х\)
\(20х\-\14х\=\45\\)
\(6х\=\45\\)
\(х=\фракция{45}{6}\)
\(х\ =\ 7,5\)
Таким образом, неизвестные стороны измеряют:
\(2\cdot7,5\=\15\\)
\(4\cdot7,5\-\9\=\21\\)
Помня о том, что Расчетная длина использовался см, периметр этого треугольника равно:
Р = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 см
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
Хотели бы вы сослаться на этот текст в школьной или академической работе? Смотреть:
ОЛИВЕЙРА, Рауль Родригес де. «Теорема о внутренней биссектрисе»; Бразильская школа. Доступно в: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. По состоянию на 04 апреля 2022 г.
