Домен, диапазон и диапазон являются числовыми наборами, связанными математическими функциями. Они преобразуют значения с помощью своих законов формирования и переносят их из выходного набора, домена, в набор прибытия, диапазон.
Из набора доменов выходят значения, которые будут преобразованы по формуле функции или закону формирования. После этого эти значения поступают в кодомен.
Подмножество, образованное элементами, поступающими в кодовый домен, называется набором изображений.
Таким образом, домен, диапазон и диапазон являются непустыми множествами и могут быть конечными или бесконечными.
При изучении функций необходимо указать, какие элементы или какова область действия этих множеств. Например: набор натуральных чисел или набор действительных чисел.
Для заданной области A, в которой каждый элемент x, принадлежащий ей, преобразуется функцией в элемент y, принадлежащий диапазону B, каждый элемент y называется образом x.
Для обозначения области определения и диапазона функции используется обозначение:
(читаем f от A до B)
Эти законы преобразования представляют собой выражения, включающие операции и числовые значения.
Пример
Функция f: A→B, определяемая законом формирования f(x) = 2x, где ее областью определения является множество A={1, 2, 3} и диапазон B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, может быть представлен значениями в таблице и диаграммы:
|
Домен Икс |
е (х) = 2х |
Изображение а также |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f(3) = 2. 3 | 6 |
Организация результатов таблицы в диаграммы:
Домен
Область D функции f — это выходной набор, состоящий из элементов x, применяемых к функции.
Геометрически в декартовой плоскости элементы домена образуют ось абсцисс абсцисс.
в обозначениях домен представлен буквой перед стрелкой.
Каждый элемент x в домене имеет по крайней мере одно изображение y в кодовом домене.
кодовый домен
Домен CD — это набор прибытия. в обозначениях представлен справа от стрелки.
Изображение
Изображение Im представляет собой подмножество диапазона, образованного элементами y, которые покидают функцию и попадают в диапазон, который может иметь такое же или меньшее количество элементов.
Таким образом, набор изображений функции f содержится в домене кодов.
Геометрически в декартовой плоскости элементы набора изображений образуют ось y ординат.
Обычно говорят, что y — это значение, принимаемое функцией f(x), и таким образом мы пишем:
Возможно, что один и тот же элемент y является образом более чем одного элемента x в домене.
Пример
в функции определено законом
, для симметричных значений x домена у нас есть одно y-изображение.
узнать больше о функции.
Упражнения с доменом, совместным доменом и изображением
Упражнение 1
Учитывая множества A = {8, 12, 13, 20, 23} и B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}, определить: домен, диапазон и диапазон функции.
а) f: A → B определяется как f (x) = 2x + 1
б) f: A → B определяется как f (x) = 3x - 14
а) f: A → B определяется как f (x) = 2x + 1
Домен А = {8, 12, 13, 20, 23}
Домен B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Изображение Im (f) = {17,25,27,41,47}
| Д(е) | е(х)=2х+1 | Я (ж) |
|---|---|---|
| 8 | f (8)=2,8+1 | 17 |
| 12 | f (12)=2,12+1 | 25 |
| 13 | f (13)=2,13+1 | 27 |
| 20 | f(20)=2,20+1 | 41 |
| 23 | f (23)=2,23+1 | 47 |
б) f: A → B определяется как f (x) = 3x - 14
Домен А = {8, 12, 13, 20, 23}
Домен B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Изображение Im (f) = {}
| Д(е) | е (х) = 3х - 14 | Я (ж) |
|---|---|---|
8 |
f(8)=3,8 - 14 | 10 |
| 12 | f (12)=3,12 - 14 | 24 |
| 13 | f (13)=3,13 - 14 | 25 |
| 20 | f(20)=3,20 - 14 | 46 |
| 23 | f (23)=3,23 - 14 | 55 |
Упражнение 2
Определите область определения функций, определяемых:
Домен — это набор возможных значений, которые может принимать x.
а) Мы знаем, что при делении на ноль 0 невозможно, поэтому знаменатель должен быть отличен от нуля.
Читаем: х принадлежит к числу таких, что х отлично от 2.
б) Квадратного корня из отрицательного числа не существует. Следовательно, подкоренное число должно быть больше или равно нулю.
Читаем: x принадлежит к числу таких вещественных чисел, что x больше или равно 5.
Упражнение 3
Дана функция с областью определения в множестве целых чисел что такое набор образов f(x) ?
Множество целых чисел Z допускает как отрицательные, так и положительные числа, где два последовательных числа отстоят друг от друга на 1 единицу.
Таким образом, функция допускает положительные и отрицательные значения. Однако, поскольку x возведен в квадрат, каждое значение, даже отрицательное, будет возвращать положительное значение.
Пример
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
Таким образом, на изображении будут только натуральные числа.
Вас может заинтересовать:
- функция впрыска
- Сюръективная функция
- Функция биекции
- Обратная функция
- Составная функция
Приложения и курьезы
Функции находят применение при изучении любого явления, в котором один параметр зависит от другого. Как, например, скорость движения предмета мебели во времени, воздействие наркотика с характеристиками кислотности в желудке, температура котла с количеством топлива.
Функции присутствуют в реальных явлениях и поэтому находят применение во всех научных и инженерных исследованиях.
Изучение функций началось не так давно, некоторые записи в античности в вавилонских таблицах показывают, что они уже были частью математики. На протяжении многих лет обозначения, то, как они написаны, получали вклад от нескольких математиков и улучшались, пока мы не используем их сегодня.
