Упражнения на ПА и ПГ

Изучайте арифметику и геометрическую прогрессию с помощью решенных и прокомментированных упражнений шаг за шагом.

Упражнение 1

В AP a2 = 5 и a7 = 15. Найдите a4 и добавьте первые пять членов этого АП.

см. ответ

Правильный ответ: a4 = 9 и S = ​​35.

разрешение

1-й шаг: определить причину и a4.
Чтобы выйти из a2 и добраться до a7, мы добавляем 5r, так как это «расстояние» между 7 и 2.

Терм a4 — это терм a2 плюс 2r, потому что, чтобы перейти от a2 к a4, мы «передвигаем» 2r. Скоро,

Следовательно, четвертый член АР равен 9.

2-й шаг: определить сумму первых пяти членов этой АП.

Сумма условий AP определяется как:

a1 = a2 - r (потому что мы возвращаемся на одну позицию назад в PA, начиная с a2)
а1 = 5 - 2 = 3

а5 = а7 ​​- 2r (потому что мы возвращаемся на две позиции назад в ПА, начиная с а7).
а5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11

Упражнение 2

(Aeronautics 2021) Профессор написал возрастающую арифметическую прогрессию с 8 членами, начинающуюся с числа 3 и состоящую только из натуральных чисел. Затем он заметил, что второй, четвертый и восьмой члены этой арифметической прогрессии образуют в таком порядке геометрическую прогрессию. Профессор также заметил, что сумма членов этой геометрической прогрессии равна

а) 42
б) 36
в) 18
г) 9

см. ответ

Ответ: а) 42

По AP термины, образующие PG, это a2, a4 и a8:

Сумма трех членов равна:

Для определения r используем среднее геометрическое:

Выравнивание обеих сторон

Возведение первого члена в квадрат и распределение второго члена:

Подставляя r в уравнение I, мы имеем:

Следовательно, сумма первых трех членов равна 42.

Упражнение 3

(PM-SP 2019) В 2015 году крупная нефтяная компания начала процесс повторного использования воды, используемой для охлаждения деталей, подготовлен и сделан прогноз постепенного увеличения в арифметической прогрессии до 2050 года объема повторно используемой воды из года в год год.

В таблице представлены объемы повторно использованной воды за первые 3 года:

Пусть An — общий член арифметической прогрессии, показывающий объем повторно используемой воды в миллионах м³ при n = 1, представляющий объем повторно использованной воды в 2016 г., n = 2, представляющий объем повторно используемой воды в 2017 г., и т. д. последовательно.

В этих условиях приходится

а) An = 0,5n – 23,5.
б) An = 23,5 + 0,5n.
в) An = 0,5n + 23.
г) An = 23 – 0,5n.
д) An = 0,5n - 23.

см. ответ

Правильный ответ: в) An = 0,5n + 23.

цель
Определить An как функцию от n.

разрешение
Отношение арифметической прогрессии равно 0,5, потому что 24 - 23,5 = 0,5.

а1 = 23,5

Общий термин AP определяется следующим образом:

Подставляем значения:

Упражнение 4

(CEDERJ 2021) Последовательность (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) представляет собой арифметическую прогрессию отношения 6. Четвертый член этой прогрессии равен

а) 31.
б) 33.
в) 35.
г) 37.

см. ответ

Правильный ответ: а) 31

разрешение

Четвертый член — это a3 + r, вот так:

Подставляем найденные значения:

Упражнение 5

(Enem 2021) В Бразилии время, необходимое студенту для завершения обучения до окончания более высокого курса, составляет учитывая 9 лет начальной школы, 3 года средней школы и 4 года выпуска (среднее время), это 16 лет. лет. Однако реальность бразильцев показывает, что среднее время обучения людей старше 14 лет все еще очень мало, как показано в таблице.

Учтите, что увеличение времени обучения в каждый период для этих людей остается постоянным до года. 2050, и что он предназначен для достижения уровня 70% времени, необходимого для получения более высокого курса, данного ранее.
Год, в котором среднее время обучения людей старше 14 лет достигнет желаемого процента, будет

а) 2018 год.
б) 2023 год.
в) 2031.
г) 2035 год.
д) 2043.

см. ответ

Правильный ответ: г) 2035.

1-я часть: определить 70% от 16.

2-я часть: определить, через сколько периодов будет достигнуто 11,2 года обучения.

Временная последовательность исследования представляет собой арифметическую прогрессию (АП) с коэффициентом 0,6.

г = а2 - а1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

а1 = 5,2

Сумма 11,2 лет будет достигнута в:

Сумма 11,2 будет достигнута в 11-м сроке ПА.

3-я часть: определите, какой 11-й срок ПА лет.

Соотношение а2 - а1 = 1999 - 1995 = 4 года.

Вывод
70% из 16 лет, необходимых для получения степени бакалавра, будут пройдены в 2035 году.

Упражнение 6

(Пожарная служба 2021 г.) Самолет и пожарная машина имеют резервуары для воды емкостью 12 000 и 8 000 литров воды соответственно. У грузовика есть насос на 2,5 галлона в минуту, что означает, что он способен перекачивать 2,5 галлона в минуту.

Исходя из этой гипотетической ситуации, судите о следующем пункте, учитывая, что 1 галлон равен 3,8 литра воды.

Если бак для воды имеет вместимость X тысяч литров, так что 8, X и 12 находятся в геометрической прогрессии именно в таком порядке, то вместимость этого бака меньше 10 тысяч литров.

Правильно

Неправильный

см. ответ

Правильный ответ: правильно

цель
Проверьте, если X < 10.

разрешение
В геометрической прогрессии PG средний член представляет собой среднее геометрическое между крайними точками.

На самом деле, приблизительный квадратный корень из 96 равен 9,79. Делаем вывод, что вместимость Х бака меньше 10 тыс. литров.

Упражнение 7

(Аэронавтика 2021) Будь П.Г. (24, 36, 54, ...). Добавляя 5-й и 6-й члены этого Г.П. было

а) 81/2
б) 405/2
в) 1215/4
г) 1435/4

см. ответ

Правильный ответ: в) 1215/4

цель
Добавьте а5 + а6

разрешение

Шаг 1: Определить отношение q.

Причина ПГ:

Шаг 2: Определите a5

а4 = а3. д
а5 = а4. д

Подставляем а4 в а5:

Шаг 3: Определите a6

а6 = а5. д

Подставляем а5 в а6:

Шаг 4: Добавьте a5 + a6, заменив числовые значения.

Помещение 54 в качестве доказательства:

Упражнение 8

(UERJ 2019) Треугольники A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, показанные ниже, имеют периметры p1, p2, p3 соответственно. Вершины этих треугольников, начиная со второго, являются серединами сторон предыдущего треугольника.

признать, что .

Таким образом, (p1, p2, p3) определяет следующую прогрессию:

а) отношение арифметическое = – 8
б) отношение арифметическое = – 6
в) геометрическое отношение = 1/2
г) геометрическое соотношение = 1/4

см. ответ

Правильный ответ: в) геометрическое отношение = 1/2

разрешение

Шаг 1: определите периметры p1, p2 и p3.

С помощью параллелизма проверяем, что стороны внутреннего треугольника составляют половину сторон непосредственно внешнего.

Например, B2A2 = A1C2.

Таким образом, p2 составляет половину p1, так же как p3 составляет половину p2. У нас есть:

Шаг 2: Соберите прогрессию и классифицируйте ее.

Получается, что для определения p2 18 умножается на 1/2.

Кроме того, 9 умножить на 1/2 равно 4,5.

Вывод
Проверяем, что прогрессия геометрическая, с отношением 1/2.

Упражнение 9

(Enem 2021) На графике показано производство, зарегистрированное отраслью в январе, марте и апреле.

Из-за проблем с логистикой обследование производства за февраль не проводилось. Однако информация за остальные три месяца свидетельствует о том, что производство за этот четырехмесячный период росло экспоненциально, о чем свидетельствует кривая тренда, показанная на графике.

Предполагая, что рост в этот период был экспоненциальным, можно сделать вывод, что производство этой отрасли в феврале месяце, в тысячах единиц, было

а) 0.
б) 120.
в) 240.
г) 300.
д) 400.

см. ответ

Правильный ответ: в) 240.

разрешение

Общий член PG — это экспонента a как функция n, где a1 и q — постоянные числа.

а1 = 120

Соотношение q, можно определить по а4/а3, вот так:

Февральское количество равно a2, которое получается путем умножения a1 на q.

Следовательно, производство в феврале месяце составило 240 штук.

Учитесь больше с:

• Упражнения на геометрическую прогрессию
• Упражнения на арифметическую прогрессию

Смотрите также:

• PA и PG: резюме, формулы и упражнения
• Геометрическая прогрессия
• арифметическая прогрессия