Факторизация многочлены состоит из методов, разработанных для перезаписи многочлена как произведение многочленов. Запишите многочлен в виде умножение между двумя или более факторами помогает упростить алгебраические выражения и понять многочлен.
Существуют разные случаи факторинга, и для каждого из них существуют свои методики.. Существующие случаи: факторизация по общему множителю в доказательствах, факторизация по группировке, разность между двумя квадратами, трехчлен с полным квадратом, сумма двух кубов и разность двух кубов.
Читать далее:Что такое полиномиальный?
Резюме по факторинговым полиномам
Факторизация многочленов - это методы, используемые для представления многочлена как произведения многочленов.
Мы используем эту факторизацию для упрощения алгебраические выражения.
-
Случаи факторинга:
Факторинг по общему фактору в доказательствах;
Факторинг по группировке;
совершенный квадратный трехчлен;
разность двух квадратов;
сумма двух кубов;
Разница двух кубов.
Случаи полиномиального факторинга
Чтобы разложить полином,
необходимо проанализировать, к какому из случаев факторинга подходит ситуация, будучи: факторингом по общему множителю в доказательствах, факторингом по группировке, разностью двух квадратов, трехчленом полного квадрата, суммой двух кубов и разностью двух кубов. Давайте посмотрим, как выполнить факторизацию в каждом из них.Не останавливайся сейчас... После рекламы есть еще ;)
Общий фактор в доказательствах
Мы используем этот метод факторизации, когда есть множитель, общий для всех членов многочлена. Этот общий фактор будет выделен как один фактор, а другой фактор, как результат разделение терминов по этому общему множителю, будут помещены в круглые скобки.
Пример 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Анализируя каждый член этого многочлена, можно увидеть, что x повторяется во всех членах. Кроме того, все коэффициенты (20, 12 и 8) кратны 4, поэтому общий для всех членов коэффициент равен 4x.
Разделив каждое слагаемое на общий множитель, получим:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Теперь мы напишем факторизацию, указав общий множитель в качестве доказательства и сумма из результатов в скобках:
4x (5y + 3x + 2y²)
Пример 2:
2а²б² + 3а³б – 4а5б³
Анализируя буквальную часть каждого термина, можно увидеть, что a²b повторяется во всех них. Обратите внимание, что нет числа, которое делит 2, 3 и – 4 одновременно. Таким образом, общий множитель будет просто a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3а³б: а²б = 3а
4-й5б³: а²б = 4а³
Таким образом, факторизация этого многочлена будет:
а²б (2б + 3а + 4а³)
Смотрите также: Сложение, вычитание и умножение многочленов — понять, как это делается
группировка
Этот метод используется, когда нет общего делителя для всех членов многочлена. В этом случае мы выделяем термины, которые можно сгруппировать по общему признаку, и выделяем их.
Пример:
Разложите на множители следующий полином:
топор + 4б + Ьх + 4а
Сгруппируем термины, имеющие a и b в качестве общего множителя:
топор + 4а + Ьх + 4б
Помещая a и b в качестве доказательства в терминах два на два, мы имеем:
а(х+4)+б(х+4)
Обратите внимание, что в скобках множители одинаковы, поэтому мы можем переписать этот полином как:
(а + б) (х + 4)
совершенный квадратный трехчлен
Трехчлены - это многочлены с 3 членами. Многочлен называется совершенным квадратным трехчленом, если он результат квадрата суммы или квадрата разности, это:
а² + 2ab + b² = (а + b)²
а² – 2ab + b² = (а – б) ²
Важный: Не каждый раз, когда есть три члена, этот многочлен будет идеальным квадратным трехчленом. Поэтому перед проведением факторизации необходимо проверить, подходит ли трехчлен в данном случае.
Пример:
Фактор, если возможно, многочлен
х² + 10х + 25
Проанализировав этот трехчлен, мы выделим квадратный корень первый и последний срок:
\(\sqrt{х^2}=х\)
\(\sqrt{25}=5\)
Важно проверить, что центральный член, то есть 10x, равен \(2\cdot\ х\cdot5\). Обратите внимание, что это действительно то же самое. Итак, это идеальный квадратный трехчлен, который можно разложить на множители:
х² + 10х + 25 = (х + 5)²
разность двух квадратов
Когда у нас есть разница в два квадрата, мы можем разложить этот многочлен, переписав его как произведение суммы и разности.
Пример:
Фактор многочлена:
4x² – 36y²
Сначала мы вычислим квадратный корень каждого из его членов:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Теперь перепишем этот полином как произведение суммы и разности найденных корней:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Читайте также: Алгебраические вычисления с использованием мономов — узнайте, как выполняются четыре операции
сумма двух кубов
Сумма двух кубов, то есть a³ + b³, можно рассматривать как:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Пример:
Фактор многочлена:
х³ + 8
Мы знаем, что 8 = 2³, поэтому:
х³ + 8 = (х + 2) (х² - 2х + 2²)
х³ + 8 = (х + 2) (х² - 2х + 4)
Разница двух кубов
Разность двух кубов, то есть a³ – b³, мало чем отличается от суммы двух кубов, может быть разложен как:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Пример:
Вынести полином
8x³ - 27
Мы знаем это:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Итак, мы должны:
\(8x^3-27=\влево (2x-3\вправо)\)
\(8x^3-27=\влево (2x-3\вправо)\влево (4x^2+6x+9\вправо)\)
Решенные упражнения на факторинг полиномов
Вопрос 1
Использование полиномиальной факторизации для упрощения алгебраического выражения \(\ гидроразрыва{х^2+4х+4}{х^2-4},\), мы найдем:
а) х + 2
Б) х - 2
Ç) \(\ гидроразрыва{х-2}{х+2}\)
Д) \(\ гидроразрыва{х+2}{х-2}\)
Д) (х - 2) (х + 2)
Разрешение:
Альтернатива D
Глядя на числитель, мы видим, что x² + 4x + 4 является случаем идеального квадратного трехчлена и может быть переписано как:
х² + 4х + 4 = (х + 2)²
Числитель x² – 4 представляет собой разность двух квадратов и может быть переписан как:
х² - 4 = (х + 2) (х - 2)
Следовательно:
\(\ frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)
Обратите внимание, что член x + 2 появляется как в числителе, так и в знаменателе, поэтому его упрощение дается формулой:
\(\ гидроразрыва{х+2}{х-2}\)
вопрос 2
(Unifil Institute) Учитывая, что два числа x и y таковы, что x + y = 9 и x² – y² = 27, значение x равно:
а) 4
Б) 5
В) 6
Г) 7
Разрешение:
Альтернатива С
Обратите внимание, что x² – y² – это разница между двумя квадратами, и ее можно разложить на множители как произведение суммы и разницы:
х² – у² = (х + у) (х – у)
Мы знаем, что х + у = 9:
(х + у) (х - у) = 27
9 (х - у) = 27
х - у = 27:9
х - у = 3
Затем мы можем настроить система уравнений:
Добавление двух строк:
2х + 0 у = 12
2х = 12
х = \(\ гидроразрыва{12}{2}\)
х = 6
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
