Вектор - это представление, которое определяет величину, направление и направление векторной величины. Векторы - это прямые сегменты, ориентированные стрелкой на одном конце.
Назовем векторы буквой и маленькой стрелкой.
Векторы характеризуют векторные величины, которые требуют ориентации, то есть направления и направления. Вот некоторые примеры: сила, скорость, ускорение и смещение. Числового значения недостаточно, необходимо описать, где эти величины действуют.
модуль вектора
Модуль вектора или интенсивность - это его числовое значение, за которым следует единица измерения величины, которую он представляет, например:
Модуль указываем между полосами, удерживая стрелку или просто букву, без полос и без стрелки.
Длина вектора пропорциональна модулю. Чем больше вектор, тем больше модуль.
векторный модуль составляет 4 единицы, а вектор
составляет 2 единицы.
Направление вектора
Направление вектора - это наклон линии поддержки, на которой он определяется. У каждого вектора есть только одно направление.
чувство вектора
Направление вектора показано стрелкой. Одно и то же направление может содержать два направления, например, вверх или вниз и влево или вправо.
Принятие направления как положительного, противоположное направление, отрицательное, обозначается знаком минус перед символом вектора.
Результирующий вектор
Результирующий вектор является результатом векторных операций и эквивалентен набору векторов. Удобно знать вектор, который представляет эффект, производимый более чем одним вектором.
Например, на тело может действовать набор сил, и мы хотим знать результат, который они все вместе произведут на этом теле. Каждая сила представлена вектором, но результат может быть представлен только одним вектором: результирующим вектором.
Результирующий вектор, , горизонтального направления и направления вправо, является результатом сложения и вычитания векторов.
,
,
а также
. Результирующий вектор показывает тенденцию тела двигаться в этой ориентации.
Векторы с вертикальным направлением имеют одинаковый размер, то есть один и тот же модуль. Поскольку они имеют противоположные значения, они нейтрализуют друг друга. Это показывает, что движение ящика в вертикальном направлении не будет.
При анализе векторов а также
, которые имеют одинаковое направление и противоположные направления, мы понимаем, что часть силы «остается» вправо, так как вектор
больше, чем
, то есть модуль
это больше.
Чтобы определить результирующий вектор, мы выполняем операции сложения и вычитания векторов.
Сложение и вычитание векторов одного направления
С участием равные чувства, мы добавляем модули и сохраняем направление и направление.
Пример:
Графически размещаем векторы по порядку, не меняя их модулей. Начало одного должно совпадать с концом другого.
Коммутативное свойство сложения действительно, поскольку порядок не меняет результат.
С участием противоположные чувства, вычитаем модули и сохраняем направление. Направление результирующего вектора совпадает с направлением вектора с наибольшим модулем.
Пример:
вектор это оставшаяся часть
, после снятия
.
Вычитание одного вектора эквивалентно сложению с противоположным другим.
Сложение и вычитание перпендикулярных векторов
Чтобы сложить два вектора с перпендикулярными направлениями, мы перемещаем векторы, не меняя их модуля, так, чтобы начало одного совпадало с концом другого.
Полученный вектор связывает начало первого с концом второго.
Чтобы определить величину результирующего вектора между двумя перпендикулярными векторами, мы сопоставляем начало двух векторов.
Модуль полученного вектора определяется теоремой Пифагора.
Сложение и вычитание наклонных векторов
Два вектора являются наклонными, если они образуют между своими направлениями угол, отличный от 0 °, 90 ° и 180 °. Для сложения или вычитания наклонных векторов используются методы параллелограмма и ломаной линии.
метод параллелограмма
Чтобы выполнить метод или правило параллелограмма между двумя векторами и нарисовать получившийся вектор, мы выполняем следующие шаги:
Первый шаг - расположить их исходные точки в одной и той же точке и провести линии, параллельные векторам, чтобы сформировать параллелограмм.
Второй - нарисовать диагональный вектор на параллелограмме между объединением векторов и объединением параллельных прямых.
Пунктирные линии параллельны векторам, а образованная геометрическая фигура представляет собой параллелограмм.
Результирующий вектор - это линия, соединяющая начало векторов с параллелями.
О модуль результирующего вектора получается по закону косинусов.
Где:
R - величина результирующего вектора;
a - векторный модуль ;
b - модуль вектора ;
- угол между направлениями векторов.
Метод параллелограмма используется для добавления пары векторов. Если вы хотите добавить более двух векторов, вы должны добавить их два на два. К вектору, полученному из суммы первых двух, мы добавляем третий и так далее.
Другой способ добавить более двух векторов - использовать метод многоугольной линии.
метод ломаной линии
Метод ломаной линии используется для нахождения вектора, полученного в результате сложения векторов. Этот метод особенно полезен при добавлении более двух векторов, например следующих векторов ,
,
а также
.
Чтобы использовать этот метод, мы должны упорядочить векторы так, чтобы конец одного (стрелка) совпадал с началом другого. Важно сохранить модуль, направление и направление.
Расположив все векторы в виде ломаной, мы должны проследить получившийся вектор, который идет от начала первого до конца последнего.
Важно, чтобы результирующий вектор замыкал многоугольник, а его стрелка совпадала со стрелкой в последнем векторе.
Свойство коммутативности действительно, так как порядок, в котором мы размещаем векторы-графики, не меняет результирующий вектор.
векторное разложение
Чтобы разложить вектор, нужно записать компоненты, составляющие этот вектор. Эти компоненты являются другими векторами.
Каждый вектор может быть записан как композиция других векторов через векторную сумму. Другими словами, мы можем записать вектор как сумму двух векторов, которые мы называем компонентами.
Используя декартову систему координат с перпендикулярными осями x и y, мы определяем компоненты вектора.
вектор является результатом векторной суммы между составляющими векторами.
а также
.
вектор наклон
образует прямоугольный треугольник с осью x. Таким образом, мы определяем модули составляющих векторов с помощью тригонометрии.
Компонентный модуль ax.
Компонентный модуль ay.
векторный модуль получается из теоремы Пифагора.
Пример
Сила осуществляется путем оттягивания блока от земли. Сила модуля упругости 50 Н отклонена на 30 ° от горизонтали. Определите горизонтальную и вертикальную составляющие этой силы.
Данные:
Умножение действительного числа на вектор
Умножив действительное число на вектор, получится новый вектор, который имеет следующие характеристики:
- В том же направлении, если действительное число не равно нулю;
- В том же направлении, если действительное число положительное, и в противоположном направлении, если оно отрицательное;
- Модуль будет произведением модуля действительного числа и модуля умноженного вектора.
Произведение между действительным числом и вектором
Где: - вектор, полученный в результате умножения;
это действительное число;
вектор умножается.
Пример
Пусть действительное число n = 3 и вектор по модулю 2 произведение между ними равно:
Расчет модуля
Направление и направление будут такими же.
Упражнение 1
(Enem 2011) Сила трения - это сила, которая зависит от контакта между телами. Его можно определить как силу, противоположную тенденции смещения тел, и она возникает из-за неровностей между двумя контактирующими поверхностями. На рисунке стрелки обозначают силы, действующие на тело, а увеличенная точка обозначает неровности между двумя поверхностями.
На рисунке векторы, представляющие силы, вызывающие смещение и трение, соответственно:
) 
Б) 
ç) 
г) 
а также) 
Правильный ответ: буква а) 
Стрелки представляют векторы сил, которые действуют при движении в горизонтальном направлении, будучи парой действие-противодействие, они имеют противоположные направления.
Вертикальные стрелки представляют действия Весовой силы и Нормальной силы, и, поскольку они равны, они компенсируют друг друга без движения в вертикальном направлении.
Упражнение 2.
(UEFS 2011) Векторная диаграмма на рисунке показывает силы, действующие на зуб человека, подвергающегося ортодонтическому лечению, двумя резиновыми лентами.
Предполагая, что F = 10,0 Н, sen45 ° = 0,7 и cos45 ° = 0,7, интенсивность силы, прилагаемой эластичными элементами к зубу, в Н, равна
а) 3√10
б) 2√30
в) 2√85
г) 3√35
д) 2√45
Правильный ответ: в) 2√85
Интенсивность силы, приложенной к зубу, определяется законом косинусов.
a и b равны 10 Н.
Факторизация квадратного корня дает нам:
Следовательно, сила результирующей силы, прилагаемой резиновыми лентами к зубу, равна .
Упражнение 3.
(PUC RJ 2016) Силы F1, F2, F3 и F4 на рисунке расположены под прямым углом друг к другу, а их модули составляют, соответственно, 1 Н, 2 Н, 3 Н и 4 Н.
Вычислите модуль результирующей силы в Н.
а) 0
б) √2
в) 2
г) 2√2
д) 10
Правильный ответ: г) 2√ 2
Мы используем метод ломаной линии для определения результирующего вектора. Для этого переставляем векторы так, чтобы конец одного совпадал с началом другого, вот так:
Используя систему координат с началом координат в начале результирующего вектора, мы можем определить модули его компонентов следующим образом:
Таким образом, мы должны:
Ry = 3 - 1 = 2 Н
Rx = 4 - 2 = 2 Н
Величина результирующего вектора определяется теоремой Пифагора.
Следовательно, модуль чистой силы равен .
узнать больше о
- Векторы: сложение, вычитание и разложение.
- Векторные величины
✖
