An полиномиальное уравнение характеризуется наличием многочлен равняется нулю. Его можно охарактеризовать степенью многочлена, и чем больше эта степень, тем сложнее найти его решение или корень.
В этом контексте также важно понимать, в чем состоит основная теорема алгебры, которая гласит, что каждое полиномиальное уравнение имеет хотя бы одно комплексное решениедругими словами: уравнение первой степени будет иметь по крайней мере одно решение, уравнение второй степени будет иметь по крайней мере два решения и так далее.
Тоже читай: Какие классы многочленов?
Что такое полиномиальное уравнение
Полиномиальное уравнение характеризуется наличием полинома, равного нулю, таким образом, каждое выражение типа P (x) = 0 является полиномиальным уравнением, где P (x) - полином. Ниже приведен общий случай полиномиального уравнения и несколько примеров.
Рассмотримнет, ап -1, а п -2,…,1, а0 и х действительные числа, а n - положительное целое число, следующее выражение является полиномиальным уравнением степени n.
- Пример
Следующие уравнения являются полиномами.
а) 3х4 + 4x2 – 1 = 0
б) 5х2 – 3 = 0
в) 6x - 1 = 0
г) 7x3 - Икс2 + 4x + 3 = 0
Как и полиномы, полиномиальные уравнения имеют свою степень. Чтобы определить степень полиномиального уравнения, просто найдите наибольшую степень, коэффициент которой отличен от нуля. Следовательно, уравнения предыдущих пунктов, соответственно:
а) Уравнение из четвертая степень:3Икс4+ 4x2 – 1 = 0.
б) Уравнение из Средняя школа:5Икс2 – 3 = 0.
c) Уравнение из первая степень:6Икс – 1 = 0.
г) Уравнение третья степень: 7Икс3- Икс2 + 4х + 3 = 0.
Как решить полиномиальное уравнение?
Метод решения полиномиального уравнения зависит от его степени. Чем выше степень уравнения, тем сложнее его решить. В этой статье мы покажем метод решения полиномиальных уравнений первая степень, вторая степень и бис-квадрат.
Полиномиальное уравнение первой степени.
Полиномиальное уравнение первой степени описывается полином 1 степени. Итак, мы можем написать уравнение первой степени, в общем, следующим образом.
Рассмотрим два действительных числа В а также B при a ≠ 0 следующее выражение является полиномиальным уравнением первой степени:
ах + Ь = 0
Чтобы решить это уравнение, мы должны использовать принцип эквивалентности, то есть все, что работает на одной стороне равенства, должно работать и на другой стороне. Чтобы найти решение уравнения первой степени, мы должны изолировать неизвестное. Для этого первым делом нужно устранить B в левой части равенства, а затем вычестьвесла b по обе стороны от равенства.
топор + b - В = 0 - В
ax = - b
Обратите внимание, что значение неизвестного x не изолированно, коэффициент a необходимо исключить из левой части равенства, и для этого давайте разделим обе части на В.
- Пример
Решите уравнение 5x + 25 = 0.
Для решения проблемы мы должны использовать принцип эквивалентности. Чтобы облегчить процесс, мы опустим запись операции в левой части равенства, поскольку эквивалентно тому, чтобы сказать, что мы собираемся «передать» число на другую сторону, изменив знак (обратная операция).
Узнайте больше о решении этого типа уравнения, открыв наш текст: Уравнение первой степени с неизвестным.
Полиномиальное уравнение второй степени.
Полиномиальное уравнение второй степени имеет характеристику многочлен второй степени. Итак, рассмотрим действительные числа a, b и c с a 0. Уравнение второй степени определяется следующим образом:
топор2 + bx + c = 0
Ваше решение может быть определено с помощью метода бхаскара или по факторингу. Если вы хотите узнать больше об уравнениях этого типа, прочтите: Уравнениедействие sвторой граммрау.
→ Метод Бхаскары
Используя метод Бхаскары, его корни задаются следующей формулой:
- Пример
Найдите решение уравнения x2 - 3х + 2 = 0.
Обратите внимание, что коэффициенты уравнения равны соответственно a = 1, b = - 3 и c = 2. Заменив эти значения в формуле, мы должны:
→ Факторизация
Обратите внимание, что выражение x можно разложить на множители2 - 3x + 2 = 0, используя идею полиномиальная факторизация.
Икс2 - 3х + 2 = 0
(х - 2) · (х - 1) = 0
Обратите внимание, что у нас есть продукт, равный нулю, а продукт равен нулю, только если один из факторов равен нулю, поэтому мы должны:
х - 2 = 0
х = 2
или
х - 1 = 0
х = 1
Посмотрите, что мы нашли решение уравнения двумя разными способами.
биквадратное уравнение
В двухквадратное уравнение это частный случай полиномиального уравнения четвертой степени, обычно уравнение четвертой степени записывается в виде:
топор4 + bx3 + коробка2 + dx + e = 0
где числа а Б В Г а также а также действительны с a 0. Уравнение четвертой степени считается двуквадратным, когда коэффициенты b = d = 0, то есть уравнение имеет вид:
топор4 + коробка2 + и = 0
См. В приведенном ниже примере, как решить это уравнение.
- Пример
Решите уравнение x4 - 10x2 + 9 = 0.
Чтобы решить уравнение, мы собираемся использовать следующее неизвестное изменение, и всякий раз, когда уравнение двуквадратное, мы собираемся внести это изменение.
Икс2 = p
Из уравнения двух квадратов обратите внимание, что x4 = (х2)2 и поэтому мы должны:
Икс4 - 10x2 + 9 = 0
(Икс2)2 – 10Икс2 + 9 = 0
для2 - 10р + 9 = 0
Посмотрите, что теперь у нас есть полиномиальное уравнение второй степени, и мы можем использовать метод Бхаскары, например:
Однако мы должны помнить, что в начале упражнения было внесено неизвестное изменение, поэтому мы должны применить значение, найденное в подстановке.
Икс2 = p
При p = 9 имеем:
Икс2 = 9
х ’= 3
или
x ’’ = - 3
Для p = 1
Икс2 = 1
x ’= 1
или
x ’’ = - 1
Следовательно, множество решений двухквадратного уравнения:
S = {3, –3, 1, –1}
Читайте тоже: Практический прием Брио-Руффини - деление многочленов
Фундаментальная теорема алгебры (TFA)
Фундаментальная теорема алгебры (TFA), доказанная Гауссом в 1799 году, утверждает, что каждое полиномиальное уравнение, приведенное ниже, имеет по крайней мере один комплексный корень.
Корнем полиномиального уравнения является его решение, то есть неизвестное значение - это то, что делает равенство истинным. Например, уравнение первой степени имеет уже определенный корень, как и уравнение второй степени, которое имеет по крайней мере два корня, и бисквадрат, который имеет по крайней мере четыре корня.
решенные упражнения
Вопрос 1 - Определите значение x, при котором равенство истинно.
2х - 8 = 3х + 7
разрешение
Обратите внимание, что для решения уравнения необходимо его систематизировать, то есть оставить все неизвестные в левой части равенства.
2х - 8 = 3х + 7
2х - 3х = 7 + 8
- х = 15
По принципу эквивалентности мы можем умножить обе части равенства на одно и то же число, и, поскольку мы хотим найти значение x, мы умножим обе части равенства на –1.
(–1)- х = 15(–1)
х = - 15
вопрос 2 - У Маркоса на 20 реалов больше, чем у Жоао. Вместе им удается купить две пары кроссовок по 80 бразильских реалов каждая, и у них не осталось денег. Сколько реалов у Джона?
разрешение
Предположим, что у Марка x реалов, так как у Джона на 20 реалов больше, поэтому у него x + 20.
Знаки → x реалов
Жуан → (x + 20) реалов
как они купили две пары кроссовок каждая из них стоит 80 реалов, поэтому, если мы сложим части каждой из них, нам придется:
х + (х + 20) = 2 · 80
х + х = 160 - 20
2x = 140
Таким образом, у Марка было 70 реалов, а у Жуана - 90 реалов.
Робсон Луис
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
