Бином Ньютона возводится ли любой бином в число нет На что нет это натуральное число. Благодаря исследованиям физика Исаак Ньютон о степенях биномов, это было возможно проверить закономерности, облегчающие представление многочлена генерируется из степени бинома.
Наблюдая за этими закономерностями, также стало возможным найти только одно из условий многочлен, без необходимости вычислять все это, используя формулу общего члена бинома. Кроме того, Ньютон заметил связь между комбинаторный анализa и биномы Ньютона, что сделало Треугольник Паскаля отличный инструмент для более практического развития бинома Ньютона.
Читайте тоже: Устройство Брио-Руффини - метод деления многочленов
Определение бинома Ньютона
Мы определяем как биномиальноемногочлен, состоящий из двух членов. В некоторых приложениях по математике и физике необходимо вычислять степени бинома. Чтобы облегчить процесс, Исаак Ньютон заметил важные закономерности которые позволяют нам найти многочлен, который получается из степени двучлена.
Для некоторых случаев расчет довольно прост: достаточно выполнить умножение бинома на себя с помощью свойства распределения. До потенции 3 порядка мы развиваемся без особых усилий, так как они хорошо известны известные продукты, но для более высоких степеней вычислите из умножения члена на себя нет иногда это большая работа.
Примеры
Помните, что каждое число, возведенное в ноль, равно 1, и что каждое число, возведенное в 1, является самим собой, что также верно и для биномов.
Ньютон заметил соотношение между коэффициентами каждого из терминов и комбинацией, что позволило более точно вычислить степень бинома по следующей формуле:
Понимание формулы:
Сначала давайте посмотрим на буквальную часть каждого термина, которая представляет собой букву с ее показателем. Обратите внимание, что для каждого члена показатель степени “a »уменьшалось, начиная с n, затем увеличивалось до n - 1 и так далее, пока не стало 1 в предпоследнем члене и 0 в последнем члене (из-за чего буква« a »даже не появлялась в последнем члене).
идентификация В и его экспоненты:
Теперь давайте проанализируем экспоненты «b», которые всегда увеличиваются, начиная с 0 в первом члене ( из-за чего буква b не появляется в первом члене), 1 во втором члене и так далее, пока оно не станет равным В нетв последний срок.
идентификация B и его экспоненты:
Понимая буквальную часть, давайте проанализировать коэффициенты, которые представляют собой все комбинации нет элементы взяты от 0 до 0, от 1 до 1, от 2 до 2 и так далее до последнего члена, который представляет собой комбинацию нет элементы взяты из нет в нет.
Примечательно, что важно освоить расчет комбинации чтобы иметь возможность найти коэффициенты. Помните, что для расчета комбинаций мы должны:
Комбинированный ответ всегда натуральное число.
Смотрите также: Деление полиномов: как решить?
Пример: Вычислить бином Ньютона (a + b) в четвертой степени.
1 шаг: запишите многочлен по формуле.
2-й шаг: рассчитать комбинации.
При замене комбинаций найденный многочлен будет:
Вы можете видеть, что решение таких случаев по-прежнему является трудоемким, в зависимости от показателя степени, но даже в этом случае это быстрее, чем вычисление с использованием свойства распределения. Инструмент, который может помочь в этом вычислении, - треугольник Паскаля.
Треугольник Паскаля
Треугольник Паскаля был разработан Блезом Паскалем во время изучения комбинаций. Он способ, который упрощает расчет комбинаций. Использование треугольника Паскаля позволяет быстрее и проще находить коэффициенты буквальных частей бинома Ньютона без необходимости вычислять все комбинации.
Чтобы построить треугольник Паскаля напрямую, давайте вспомним две ситуации, когда вычисление комбинации равно 1.
Таким образом, первый и последний член всех строк всегда равен 1. Центральные члены строятся из суммы члена над ним и его соседа из предыдущего столбца, как в представлении ниже:
Чтобы построить следующие строки, просто помните, что первый член равен 1, и последний тоже. Затем достаточно провести суммы, чтобы обнаружить центральные термины.
Также доступ: Теорема о разложении полиномов
Пример: Вычислите (a + b) в шестой степени.
1 шаг: применить формулу бинома.
2-й шаг: построить треугольник Паскаля до 6-й строки.
3 шаг: замените комбинации значениями в строке 6, которые являются коэффициентами каждого члена бинома.
Количество строк, которые мы собираемся построить из бинома, определяется значением n. Важно помнить, что первая строка нулевая.
Биномиальный общий термин Ньютона
Общий термин бинома Ньютона - это формула, которая позволяет нам вычислить член бинома без необходимости разрабатывать весь многочлен, то есть мы можем укажите любые термины от первого до последнего. С помощью формулы мы напрямую вычисляем искомый термин.
В: первый срок
B: второй срок
n: экспонента
р + 1: искать термин
Пример: Найдите 11-й член двучлена (a + b).12.
Разрешение:
Смотрите также: Демонстрации через алгебраического исчисления
Решенные упражнения
Вопрос 1 - (Cesgranrio) Коэффициент при x4 в многочлене P (x) = (x + 2)6:
а) 64
б) 60
в) 12
г) 4
д) 24
разрешение
Мы хотим найти конкретный член при решении бинома; для этого нам нужно найти значение p.
Мы знаем, что первый член в этом случае равен x, поэтому n - p = 4, поскольку n = 6, мы имеем:
Следовательно, коэффициент равен 60 (вариант B).
Вопрос 2 - (Unifor) Если центральный член биномиального развития (4x + ky)10 для 8064x5у5, то альтернативой, соответствующей значению k, будет:
а) 1/4
б) 1/2
в) 1
г) 2
д) 4
разрешение: Мы знаем, что центральный член имеет равные коэффициенты (p = 5). Найдем шестой член, так как p + 1 = 6. Кроме того, мы имеем a = 4x; b = ky и n = 10, поэтому:
Альтернатива D.
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm