Представьте, что вы играете с шариками, формируя треугольники. Сначала вы можете подумать, что шар похож на маленький треугольник:
•
Затем вы помещаете под ними два шарика и формируете три вершины треугольник:
•
• •
Если вы поместите еще три шара под ними, получится еще один треугольник:
•
• •
• • •
На каждом шаге добавления шаров по отношению к ранее размещенному количеству всегда будет образование треугольников. Посмотрите на треугольник, образованный добавлением еще четырех шаров:
•
• •
• • •
• • • •
Общее количество шаров на каждом шаге характеризует класс чисел, называемый треугольные числа. Математик Карл Фридрих Гаусс открыл формулу для обозначения общего количества в каждом треугольнике, где s1соответствует первому треугольнику, s2, ко второму треугольнику и так далее. Суммы, описанные Гауссом, начинались с а а также, на каждом этапе добавлялось число, соответствующее одной единице над последним добавленным числом:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Результатом этих сумм были треугольные числа: 1, 3, 6, 10, 15... Обратите внимание, что в каждой из этих сумм установлен определенный закономерности. Присмотревшись, мы видим, что каждый из них - арифметическая прогрессия причины 1. Итак, вот сумма гаусса, который устанавливает, что в сумме постоянного отношения, если мы добавим первый элемент к последнему, мы получим тот же результат, что и добавление второго элемента к предпоследнему. Давайте посмотрим, как происходит процесс суммирования Гаусса для сумм. s6 а также s7:
Процесс суммирования Гаусса применяется к сумме треугольных чисел
Не останавливайся сейчас... После рекламы есть еще кое-что;)
если остановится s6 а также s7 у нас есть суммы с изображения выше, давайте воспроизведем эту сумму для s8, S9, S10 а также s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Мы можем обобщить, чтобы получить сумму для sнет:
sнет = п. (п + 1), если n четно
2
sнет = (п - 1).(п + 1) + (п - 1) + 1, если n нечетное
2 2
как в магия чисел, мы можем показать еще один интересный факт о треугольных числах: сумма последующих треугольных чисел всегда приводит к числам, которые можно классифицировать как полные квадраты, то есть числам, имеющим корень квадрат. Давайте посмотрим:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
Полученные результаты 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и 121 представляют собой полные квадраты.
Аманда Гонсалвес
Окончил математику
Хотели бы вы ссылаться на этот текст в учебе или учебе? Смотреть:
РИБЕЙРО, Аманда Гонсалвеш. «Треугольные числа»; Бразильская школа. Доступно в: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Доступ 27 июля 2021 г.
