Мы знаем, что орбиты планет эллиптические, однако дедукция третьего закона Кеплера, рассмотрим круговую орбиту. Хотя следующая демонстрация основана на круговых орбитах, результаты также верны для эллиптических орбит.
На рисунке изображена планета, вращающаяся вокруг Солнца. Центростремительная сила (Fc) - это гравитационная сила притяжения, оказываемая Солнцем. Силами притяжения между планетами и спутниками пренебрегают, это связано с тем, что их массы намного меньше массы Солнца.
Как планета массы (м) вращается вокруг Солнца, совершая круговое движение с угловой скоростью (), результирующая сила на планете, называемая центростремительной силой (Fc), определяется как:
Fç= mω2 р
На что:
Fç:центростремительная сила;
m: масса планеты;
ω: угловая скорость планеты;
r: радиус орбиты планеты.
Угловая скорость определяется по формуле:
На что:
Т: период революции на планете.
Подставляя уравнение 2 в уравнение 1, мы имеем:
Обратите внимание, что центростремительная сила - это гравитационная сила притяжения между Солнцем и планетой. Таким образом, рассматривая массу Солнца как (M) и радиус орбиты планеты как (r), то есть расстояние между Солнцем и планетой, Закон всемирного тяготения можно записать следующим образом:
На что:
Приравнивая уравнение 3 к 4, мы получим:
Скоро:
Посмотрите на уравнение 5 и обратите внимание, что член 
является константой, поскольку неизвестные относятся к универсальной постоянной и массе Солнца, поэтому уравнение можно переписать следующим образом:
Т2= kr3
На что:
k: константа пропорциональности.
Уравнение 6 говорит нам, что квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца прямо пропорционален кубу расстояния между ними.
Из приведенного выше уравнения можно сделать вывод, что чем дальше планета от Солнца, тем дольше период ее обращения.
Третий закон Кеплера, который мы только что вывели, также справедлив в отношении Земли для движения Луны и искусственных спутников.
Натан Аугусто
Закончил факультет физики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm