Проверьте свои знания с помощью предложенных упражнений и вопросов, которые выпали на вступительном экзамене о дробях и операциях с дробями.
Не забудьте проверить прокомментированные решения, чтобы получить больше информации.
Предлагаемые упражнения (с разрешением)
Упражнение 1
Деревья в парке расположены таким образом, что если мы проведем линию между первым деревом (A) отрезка и последнего дерева (B) мы могли бы визуализировать, что они расположены на том же расстоянии, что и одно из другие.
Согласно изображению выше, какая дробь представляет собой расстояние между первым и вторым деревом?
а) 1/6
б) 2/6
в) 1/5
г) 2/5
Правильный ответ: в) 1/5.
Дробь - это представление чего-то, что было разделено на равные части.
Обратите внимание, что на изображении пространство между первым и последним деревом разделено на пять частей. Это знаменатель дроби.
Расстояние между первым и вторым деревом представлено только одной из частей и, следовательно, является числителем.
Таким образом, доля, представляющая пространство между первым и вторым деревом, равна 1/5, потому что среди 5 участков, на которые был разделен маршрут, два дерева расположены в первом.
Упражнение 2.
Посмотрите на шоколадный батончик ниже и ответьте: сколько квадратов нужно съесть, чтобы съесть 5/6 батончика?
а) 15
б) 12
в) 14
г) 16
Правильный ответ: а) 15 квадратов.
Если мы посчитаем, сколько квадратов шоколада у нас на плитке, показанной на изображении, мы найдем число 18.
Знаменатель израсходованной дроби (5/6) равен 6, то есть столбик был разделен на 6 равных частей, каждая с 3 маленькими квадратами.
Чтобы израсходовать фракцию 5/6, мы должны взять 5 кусочков по 3 квадрата каждый и, таким образом, съесть 15 квадратов шоколада.
Найдите другой способ решить эту проблему.
Поскольку на плитке 18 квадратов шоколада, а вы должны съесть 5/6, мы можем выполнить умножение и найти количество квадратов, соответствующее этой дроби.
Итак, съешьте 15 квадратов, чтобы съесть 5/6 батончика.
Упражнение 3.
Марио наполнил банку объемом 500 мл на 3/4 освежающим напитком. При подаче напитка он распределил жидкость поровну по 5 чашкам по 50 мл, занимая 2/4 емкости каждой. На основании этих данных ответьте: какая часть жидкости осталась в банке?
а) 1/4
б) 1/3
в) 1/5
г) 1/2
Правильный ответ: г) 1/2.
Чтобы ответить на это упражнение, нам нужно выполнить операции с дробями.
1 шаг: рассчитать количество соды в банке.
2-й шаг: рассчитайте количество освежения в бокалах
Так как стаканов 5, значит, общее количество жидкости в стаканах составляет:
3 шаг: рассчитать количество жидкости, оставшейся в банке
Из выписки общая емкость баночки составляет 500 мл и по нашим расчетам количество жидкости, оставшейся в банке, составляет 250 мл, то есть половина ее объема. Таким образом, можно сказать, что оставшаяся часть жидкости составляет 1/2 ее емкости.
Попробуйте еще один способ найти дробь.
Когда банка была заполнена на 3/4 безалкогольного напитка, Марио распределил 1/4 жидкости по стаканам, оставив 2/4 в банке, что равно 1/2.
Упражнение 4.
20 сотрудников решили сделать ставку и вознаградить тех, кто лучше всех добьется результата в играх футбольного чемпионата.
Зная, что каждый человек внес 30 реалов и что призы будут распределены следующим образом:
- 1 место: 1/2 от собранной суммы;
- 2-е место: 1/3 от собранной суммы;
- 3-е место: получает оставшуюся сумму.
Сколько, соответственно, получил каждый победивший участник?
а) 350 бразильских реалов; 150 бразильских реалов; 100 бразильских реалов
б) 300 бразильских реалов; 200 бразильских реалов; 100 бразильских реалов
в) 400 бразильских реалов; 150 бразильских реалов; 50 бразильских реалов
г) 250 бразильских реалов; 200 бразильских реалов; 150 бразильских реалов
Правильный ответ: б) 300 бразильских реалов; 200 бразильских реалов; 100 бразильских реалов.
Сначала мы должны подсчитать собранную сумму.
20 x 30 бразильских реалов = 600 бразильских реалов
Поскольку каждый из 20 человек внес 30 реалов, сумма, использованная для награждения, составила 600 реалов.
Чтобы узнать, сколько получил каждый победитель, мы должны разделить общую сумму на соответствующую дробь.
1-е место:
2 место:
3 место:
Для последнего победителя мы должны добавить, сколько получили другие победители, и вычесть из полученной суммы.
300 + 200 = 500
600 - 500 = 100
Таким образом, у нас есть следующая награда:
- 1 место: 300 реалов;
- 2 место: 200 реалов;
- 3 место: 100 реалов.
Смотри тоже: Умножение и деление дробей
Упражнение 5.
В споре о гоночном автомобиле участник был на 2/7 от финиша гонки, когда он попал в аварию и был вынужден покинуть ее. Зная, что соревнование проводилось с 56 кругами на ипподроме, на каком круге участник был удален с трассы?
а) 16 круг
б) 40 круг
в) 32 круг
г) 50 круг
Правильный ответ: б) 40 круг.
Чтобы определить, на каком круге участник покинул гонку, нам нужно определить круг, который соответствует 2/7 для финиша дистанции. Для этого воспользуемся умножением дроби на целое число.
Если до финиша оставалось 2/7 дистанции, то участнику оставалось 16 кругов.
Вычтем найденное значение из общего количества полученных результатов:
56 – 16 = 40.
Таким образом, после 40 кругов участник был снят с трассы.
Найдите другой способ решить эту проблему.
Если соревнование проводится с 56 кругами на ипподроме и, согласно заявлению, оставалось 2/7 гонки, то 56 кругов соответствуют доле 7/7.
Вычтя 2/7 из 7/7, мы найдем маршрут, по которому участник соревновался до места, где произошла авария.
Теперь просто умножьте 56 кругов на указанную выше дробь и найдите круг, на котором участник сошел с трассы.
Таким образом, в обоих способах расчета мы найдем результат 40-го круга.
Смотри тоже: Что такое дробь?
Прокомментированные вопросы о вступительных экзаменах
вопрос 6
ENEM (2021 г.)
Антониу, Хоаким и Хосе являются партнерами в компании, капитал которой разделен между тремя пропорциональными частями: 4, 6 и 6, соответственно. С намерением уравнять участие трех партнеров в капитале компании Антониу намеревается приобрести часть капитала каждого из двух других партнеров.
Доля капитала каждого партнера, которую Антониу должен приобрести, составляет
а) 1/2
б) 1/3
в) 1/9
г) 2/3
д) 4/3
Ответ: пункт c
Из заявления мы знаем, что компания была разделена на 16 частей, так как 4 + 6 + 6 = 16.
Эти 16 частей необходимо разделить на три равные части для членов.
Поскольку 16/3 не является точным делением, мы можем умножить на общее значение без потери пропорциональности.
Умножим на 3 и проверим равенство.
4.3 + 6.3 + 6.3 = 16.3
12 + 18 + 18 = 48
48 = 48
Разделив 48 на 3, результат будет точным.
48/3 = 16
Сейчас компания разделена на 48 частей, из которых:
У Антониу 12 частей из 48.
У Жоакима 18 частей из 48.
Хосе владеет 18 частями из 48.
Таким образом, Антониу, которому уже исполнилось 12 лет, нужно получить еще 4, чтобы осталось 16.
По этой причине каждый из других партнеров должен передать Антониу 2 части из 18.
Доля, которую Антонио должен получить от партнера, составляет 2/18, что упрощает:
2/18 = 1/9
вопрос 7
ENEM (2021 г.)
Педагогическая игра состоит из карточек, на одной из сторон которых нанесена дробь. Каждому игроку раздаются по четыре карты, и тот, кто первым успевает сортировать свои карты по напечатанным дробям, побеждает. Победителем стал студент, получивший карточки с дробями: 3/5, 1/4, 2/3 и 5/9.
Приказ, который представил этот студент, был
а) 1/4, 5/9, 3/5, 2/3
б) 1/4, 2/3, 3/5, 5/9
в) 2/3, 1/4, 3/5, 2/3
г) 5/9, 1/4, 3/5, 2/3
д) 2/3, 3/5, 1/4, 5/9
Ответ: пункт а
Для сравнения дробей они должны иметь одинаковые знаменатели. Для этого мы рассчитали MMC между 5, 4, 3 и 9, которые являются знаменателями выпавших дробей.
Чтобы найти эквивалентные дроби, мы делим 180 на знаменатели выпавших дробей и умножаем результат на числители.
Для 3/5
180/5 = 36, так как 36 x 3 = 108, эквивалентная дробь будет 108/180.
Для 1/4
180/4 = 45, так как 45 x 1 = 45, эквивалентная дробь будет 45/180
на 2/3
180/3 = 60, так как 60 x 2 = 120, эквивалентная дробь будет 120/180
Для 9/5
180/9 = 20, так как 20 x 5 = 100. эквивалентная дробь будет 100/180
С эквивалентными дробями просто отсортируйте их по числителям в порядке возрастания и свяжите с нарисованными дробями.
вопрос 8
(UFMG-2009) Паула купила два контейнера для мороженого, в обоих одинаковое количество продукта.
Одна из банок содержала равное количество вкусов шоколада, сливок и клубники; а во втором - равное количество вкусов шоколада и ванили.
Итак, ПРАВИЛЬНО заявить, что в этой покупке доля, соответствующая количеству мороженого с шоколадным вкусом, была:
а) 2/5
б) 3/5
в) 5/12
г) 5/6
Правильный ответ: в) 5/12.
Первый горшок содержал 3 вкуса в равных количествах: 1/3 шоколада, 1/3 ванили и 1/3 клубники.
Во второй кастрюле было 1/2 шоколада и 1/2 ванили.
Схематично представив ситуацию, как показано на изображении ниже, мы имеем:
Обратите внимание, что мы хотим знать долю, соответствующую количеству шоколада при покупке, то есть с учетом двух банок для мороженого, поэтому мы делим две банки на равные части.
Таким образом, каждый горшок был разделен на 6 равных частей. Итак, в обоих горшках по 12 равных частей. Из них 5 частей соответствуют шоколадному вкусу.
Итак отвечать правильно это буква c.
Мы все еще могли бы решить эту проблему, учитывая, что количество мороженого в каждой банке равно Q. Итак, у нас есть:
Знаменатель искомой дроби будет равен 2Q, так как мы должны учитывать, что есть два горшка. Числитель будет равен сумме частей шоколада в каждой кастрюле. Таким образом:
Помните, что когда мы делим одну дробь на другую, мы повторяем первую, переходим к умножению и инвертируем вторую дробь.
Смотри тоже: Упрощение дробей
вопрос 9
(Unesp-1994) Два подрядчика будут совместно прокладывать дорогу, каждый работает с одного конца. Если один из них вымостит 2/5 дороги, а другой - оставшийся 81 км, длина этой дороги составит:
а) 125 км
б) 135 км
в) 142 км
г) 145 км
д) 160 км
Правильный ответ: б) 135 км.
Мы знаем, что общая стоимость дороги составляет 81 км (3/5) + 2/5. По правилу трех мы можем узнать значение 2/5 в км. Скоро:
| 3/5 | 82 км |
| 2/5 | Икс |
Таким образом, мы находим, что 54 км эквивалентны 2/5 дороги. Теперь просто добавьте это значение к другому:
54 км + 81 км = 135 км
Таким образом, если один из них вымостит 2/5 дороги, а другой - оставшийся 81 км, длина этой дороги составит 135 км.
Если вы не уверены в решении этого упражнения, прочтите также: Простое и сложное правило трех.
вопрос 10
(UECE-2009) Кусок ткани после стирки потерял 1/10 своей длины и достиг 36 метров. В этих условиях длина изделия перед стиркой в метрах была равна:
а) 39,6 метра
б) 40 метров
в) 41,3 метра
г) 42 метра
д) 42,8 метра
Правильный ответ: б) 40 метров.
В этой задаче нам нужно найти значение, эквивалентное 1/10 ткани, которая сморщилась после стирки. Помните, что 36 метров эквивалентны 9/10.
Если 9/10 равно 36, сколько будет 1/10?
По правилу трех мы можем получить это значение:
| 9/10 | 36 метров |
| 1/10 | Икс |
Тогда мы знаем, что 1/10 одежды соответствует 4 метрам. Теперь просто добавьте к оставшимся 9/10:
36 метров (9/10) + 4 метра (1/10) = 40 метров
Таким образом, длина детали до стирки в метрах была равна 40 метрам.
вопрос 11
(ETEC / SP-2009) Традиционно жители Сан-Паулу обычно едят пиццу по выходным. Семья Жуана, состоящая из него, его жены и их детей, купила гигантскую пиццу, разрезанную на 20 равных частей. Известно, что Иоанн съел 3/12, а его жена съела 2/5, а их детям осталось N кусочков. Значение N равно?
а) 7
б) 8
в) 9
г) 10
д) 11
Правильный ответ: а) 7.
Мы знаем, что дроби представляют собой часть целого, в данном случае это 20 кусочков гигантской пиццы.
Чтобы решить эту проблему, мы должны получить количество штук, соответствующих каждой дроби:
Джон: съел 12/3
Жена Джона: съела 2/5
N: что осталось (?)
Итак, давайте узнаем, сколько кусочков съел каждый из них:
Иоанна: 3/12 из 20 = 3/12. 20 = 60/12 = 5 штук
Жена: 2/5 из 20 = 2/5. 20 = 8 штук
Если мы сложим два значения (5 + 8 = 13), мы получим количество ломтиков, которые они съели. Таким образом, осталось 7 штук, которые разделили между детьми.
вопрос 12
(Enem-2011) Водно-болотные угодья - одно из самых ценных природных наследий Бразилии. Это самая большая континентальная заболоченная территория на планете - около 210 000 км2.2, составляя 140 тыс. км2 на территории Бразилии, охватывающей часть штатов Мату-Гросу и Мату-Гросу-ду-Сул. В этом регионе часто бывают проливные дожди. Баланс этой экосистемы в основном зависит от притока и оттока паводков. Паводки покрывают до 2/3 площади Пантанала. В сезон дождей площадь, затопленная наводнением, может достигать приблизительной стоимости:
а) 91,3 тыс. км2
б) 93,3 тыс. км2
в) 140 тыс. км2
г) 152,1 тыс. км2
д) 233,3 тыс. км2
Правильный ответ: в) 140 тыс. Км2.
Во-первых, мы должны отметить ценности, предлагаемые в упражнении:
210 тыс. Км2: Общая площадь
2/3 - это значение, которое покрывают наводнения в этой области.
Для ее решения достаточно знать 2/3 стоимости 210 тыс. Км.2
210.000. 2/3 = 420 000/3 = 140 тыс. Км2
Таким образом, в сезон дождей площадь, затопленная паводком, может достигать примерной стоимости 140000 км2.2.
вопрос 13
(Энем-2016) В баке одной легковой машины вмещается до 50 л топлива, а средняя эффективность этой машины на дороге составляет 15 км / л топлива. Отправляясь в поездку на 600 км, водитель заметил, что отметка уровня топлива находится точно на одной из отметок делительной шкалы отметки, как показано на следующем рисунке.
Поскольку водитель знает маршрут, он знает, что до прибытия в пункт назначения существует пять станций технического обслуживания. запас топлива, расположенный в 150 км, 187 км, 450 км, 500 км и 570 км от точки матч. Какое максимальное расстояние в километрах вы можете проехать до тех пор, пока не понадобится дозаправить автомобиль, чтобы топливо не закончилось в дороге?
а) 570
б) 500
в) 450
г) 187
д) 150
б) 500.
Чтобы узнать, сколько километров может проехать машина, первым делом нужно выяснить, сколько топлива в баке.
Для этого мы должны прочитать маркер. В этом случае указатель отмечает половину плюс половину половины. Мы можем представить эту фракцию следующим образом:
Таким образом, 3/4 резервуара заполнено. Теперь мы должны знать, сколько литров равняется этой дроби. Поскольку полностью заполненный бак составляет 50 литров, давайте найдем 3/4 из 50:
Мы также знаем, что эффективность автомобиля составляет 15 км при 1 литре, поэтому, следуя правилу трех, мы находим:
| 15 км | 1 литр |
| Икс | 37,5 км |
х = 15. 37,5
x = 562,5 км
Таким образом, автомобиль сможет проехать 562,5 км с топливом, которое находится в баке. Однако он должен остановиться до того, как закончится топливо.
В этом случае ему придется заправляться после того, как проехал 500 км, так как до того, как у него закончится топливо, это заправка.
вопрос 14
(Энем-2017) В столовой летом успех продаж - соки из фруктовой мякоти. Один из самых продаваемых соков - сок клубники и ацеролы, который готовится из 2/3 мякоти клубники и 1/3 мякоти ацеролы.
Для продавца мякоть продается в упаковках равного объема. В настоящее время упаковка мякоти клубники стоит 18 реалов, а целлюлозы ацеролы - 14,70 реалов. Однако в следующем месяце ожидается рост цен на упаковку из целлюлозы из ацеролы, которая будет стоить 15,30 реалов.
Чтобы не повышать цену на сок, продавец договорился с поставщиком о снижении цены на упаковку из мякоти клубники.
В действительности снижение цены на упаковку из мякоти клубники должно составлять
а) 1,20
б) 0,90
в) 0,60
г) 0,40
д) 0,30
Правильный ответ: д) 0,30.
Для начала выясним стоимость сока для торговца до повышения.
Чтобы найти это значение, давайте сложим текущую стоимость каждого фрукта с учетом фракции, используемой для приготовления сока. Итак, у нас есть:
Итак, это сумма, которая будет храниться у продавца.
Итак, назовем это Икс сумма, которую должна начать стоить мякоть клубники, чтобы общая стоимость оставалась прежней (16,90 реалов), и с учетом новой стоимости мякоти ацеролы:
Поскольку вопрос касается снижения цены на мякоть клубники, нам все равно придется сделать следующее вычитание:
18 - 17,7 = 0,3
Следовательно, сокращение должно составить 0,30 реала.
вопрос 15
(TJ EC). Из какой дроби получается десятичная дробь 2,54646… в десятичном представлении?
а) 2,521/990
б) 2,546/999
в) 2,546/990
г) 2,546 / 900
д) 2,521/999
Ответ: пункт а
Повторяющаяся часть (период) - 46.
Распространенная стратегия поиска образующей фракции состоит в том, чтобы изолировать повторяющуюся часть двумя способами.
Вызывая 2.54646… из x, мы имеем:
X = 2,54646... (уравнение 1)
В уравнении 1, умножив две части равенства на 10, получим:
10x = 25,4646... (уравнение 2)
В уравнении 1, умножив две части равенства на 1000, мы получим:
100x = 2546.4646... (уравнение 2)
Теперь, когда в двух результатах всего 46 повторений, чтобы исключить его, давайте вычтем второе уравнение из первого.
990x = 2521
Выделяя x, мы имеем:
х = 2521/990
Узнайте больше по этой теме. Читайте тоже:
- Виды дробей и дробных операций
- Эквивалентные дроби
- Сложение и вычитание дробей
