THE теория вероятности это раздел математики, изучающий эксперименты или случайные явления, и с его помощью можно анализировать шансы наступления определенного события.
Когда мы вычисляем вероятность, мы связываем степень уверенности в том, что возможны результаты экспериментов, результаты которых не могут быть определены заранее.
Таким образом, вычисление вероятности связывает возникновение результата со значением, которое варьируется от 0 до 1, и чем ближе результат к 1, тем больше вероятность его появления.
Например, мы можем рассчитать вероятность того, что человек купит выигрышный лотерейный билет, или узнать шансы, что у пары будет 5 детей, все мальчики.
случайный эксперимент
Случайный эксперимент - это эксперимент, который не может предсказать, какой результат будет получен до его проведения.
События этого типа при повторении в одних и тех же условиях могут давать разные результаты, и это непостоянство объясняется случайностью.
Пример случайного эксперимента - бросить вверх несмещенный кубик (кубик с однородным распределением массы). При падении невозможно с уверенностью предсказать, какая из 6 граней будет обращена вверх.
Формула вероятности
В случайном явлении шансы на то, что событие произойдет, равновероятны.
Следовательно, мы можем найти вероятность наступления данного результата, разделив количество благоприятных событий и общее количество возможных исходов:
Существование:
р (А): вероятность наступления события A
в): количество дел, которые нас интересуют (событие А)
п (Ом): общее количество возможных случаев
Примеры
1) Если мы бросим идеальный кубик, какова вероятность того, что выпадет число меньше 3?
Решение
В идеальном кубике все 6 граней имеют равные шансы упасть лицом вверх. Итак, применим формулу вероятности.
Для этого мы должны учитывать, что у нас есть 6 возможных случаев (1, 2, 3, 4, 5, 6) и что событие «из числа меньше 3» имеет 2 возможности, то есть из числа 1 или цифра 2. Итак, у нас есть:
2) Колода карт состоит из 52 карт, разделенных на четыре масти (червы, трефы, бубны и пики), по 13 карт каждой масти. Таким образом, если вы вытянете карту наугад, какова вероятность того, что карта выпадет из клубной масти?
Решение
Выбирая карту наугад, мы не можем предсказать, какой это будет карта. Итак, это случайный эксперимент.
В этом случае количество карточек соответствует количеству возможных случаев, и у нас есть 13 клубов, которые представляют количество благоприятных событий.
Подставляя эти значения в формулу вероятности, мы имеем:
Образец пространства
представлен письмом Ω, пространство выборки соответствует набору возможных результатов, полученных в результате случайного эксперимента.
Например, при случайном взятии карты из колоды пробное пространство соответствует 52 картам, составляющим эту колоду.
Аналогичным образом, при однократном вращении матрицы образцом пространства являются шесть составляющих ее граней:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 и 6}.
Типы событий
Событие - это любое подмножество выборки случайного эксперимента.
Когда событие точно такое же, как и его пространство выборки, оно называется правильное событие. И наоборот, когда событие пустое, оно называется невозможное событие.
Пример
Представьте, что у нас есть коробка с шарами, пронумерованными от 1 до 20, и все шары красные.
Событие «нарисовать красный шар» - это обязательно, так как все шары в коробке этого цвета. Событие «Нарисовать число больше 30» невозможно, так как наибольшее число в квадрате - 20.
Комбинаторный анализ
Во многих ситуациях можно напрямую определить количество возможных и благоприятных событий в случайном эксперименте.
Однако в некоторых задачах вам потребуется вычислить эти значения. В этом случае мы можем использовать формулы перестановки, расстановки и комбинирования в соответствии с ситуацией, предложенной в вопросе.
Чтобы узнать больше по теме, перейдите по ссылке:
- Комбинаторный анализ
- Упражнения по комбинаторному анализу
- Основной принцип подсчета
- Перестановка
Пример
(EsPCEx - 2012) Вероятность получения числа, делящегося на 2, при случайном выборе одной из перестановок цифр 1, 2, 3, 4, 5 равна
Решение
В этом случае нам нужно узнать количество возможных событий, то есть сколько разных чисел мы получим, изменив порядок заданных 5 цифр (n = 5).
Поскольку в этом случае порядок цифр формирует разные числа, мы будем использовать формулу перестановки. Таким образом, мы имеем:
Возможные события:
Таким образом, из 5 цифр можно найти 120 различных чисел.
Для расчета вероятности нам еще нужно найти количество благоприятных событий, которые в данном случае состоит в том, чтобы найти число, делящееся на 2, что произойдет, когда последняя цифра числа равна 2 или 4.
Учитывая, что для последней позиции у нас есть только эти две возможности, тогда нам придется поменять местами остальные 4 позиции, составляющие число, например:
Благоприятные события:
Вероятность будет найдена следующим образом:
Тоже читай:
- Треугольник Паскаля
- Комплексные числа
- Математика в Enem
Упражнение решено
1) PUC / RJ - 2013 г.
Если a = 2n + 1 при n ∈ {1, 2, 3, 4}, то вероятность числа В быть парой это
к 1
б) 0,2
в) 0,5
г) 0,8
д) 0
Подставляя каждое возможное значение n в выражение для числа a, мы замечаем, что результатом всегда будет нечетное число.
Следовательно, «быть четным числом» - невозможное событие. В этом случае вероятность равна нулю.
Альтернатива: e) 0
2) ВНО - 2013 г.
В группе, обучающейся на курсах испанского, три человека намерены пройти программу обмена в Чили и семь - в Испании. Из этих десяти человек двое были выбраны для собеседования, которое разыграет стипендии для обучения за рубежом. Вероятность того, что эти два избранных человека принадлежат к группе тех, кто намеревается совершить обмен в Чили, составляет
Для начала определим количество возможных ситуаций. Поскольку выбор двух человек не зависит от порядка, мы будем использовать формулу комбинирования для определения количества возможных случаев, то есть:
Итак, есть 45 способов выбрать 2 человека из группы из 10 человек.
Теперь нам нужно подсчитать количество благоприятных событий, то есть два нарисованных человека хотят совершить обмен в Чили. Снова воспользуемся формулой комбинирования:
Итак, есть 3 способа выбрать двух человек из трех, которые хотят учиться в Чили.
Используя найденные значения, мы можем вычислить требуемую вероятность, подставив в формулу:
Альтернатива: б)
Узнайте больше о некоторых связанных темах:
- Бином Ньютона
- Вероятностные упражнения (легкие)
- Вероятностные упражнения
- Статистика
- Статистика - упражнения
- Математические формулы
