Мы создали оккупация когда мы связываем одну или несколько величин. Часть природных явлений можно изучать благодаря развитию в этой области математики. Изучение функций разделено на две части, у нас есть общая часть, в которой мы изучаем концепцииГенеральная, и конкретная часть, где мы изучаем частные случаи, например, полиномиальные и экспоненциальные функции.
Смотрите также: Как построить график функции?
Какие есть функции?
Функция - это приложение, которое связывает элементы двух наборы не пустой. Рассмотрим два непустых множества A и B, где функция ж относиться каждый элемент от А до единственный элемент Б.
Чтобы лучше понять это определение, представьте себе поездку на такси. Для каждой поездки, то есть для каждого пройденного расстояния, существует своя и уникальная цена, то есть нет смысла для поездки иметь две разные цены.
Мы можем представить эту функцию, которая принимает элементы из набора A в набор B, следующим образом.
Обратите внимание, что для каждого элемента множества A существует
один связанный элемент с ним в комплекте Б. Теперь мы можем подумать, в конце концов, когда связь между двумя наборами не будет функцией? Хорошо, когда элемент набора A связан с двумя различными элементами B, или когда есть элементы набора A, которые не связаны с элементами B. Посмотрите:
Вообще говоря, мы можем написать функцию алгебраически следующим образом:
ж: А → Б
х → у
Обратите внимание, что функция берет элементы из набора A (представленного x) и переводит их в элементы B (представленные y). Мы также можем сказать, что элементы множества B заданы в терминах элементов множества A, поэтому мы можем представить y как:
y = ж(Икс)
Он гласит: (y равно f of x)
Домен, совместная домен и имидж роли
Когда у нас есть роль ж, связанным множествам присваиваются специальные имена. Итак, рассмотрим функцию ж который переводит элементы из набора A в элементы из набора B:
ж: А → Б
Множество A, из которого исходят отношения, называется домен функции, и набор, который получает "стрелки" этой связи, называется встречный домен. Обозначим эти множества следующим образом:
Dж = A → Домен ж
CDж = B → Встречная область ж
Подмножество встречной области функции, образованной элементами, которые относятся к элементам набора, называется Изображение функции и обозначается:
яж → Изображение ж
- Пример
Рассмотрим функцию f: A → B, представленную на диаграмме ниже, и определим домен, встречный домен и изображение.
Как сказано, множество A = {1, 2, 3, 4} является областью определения функции ж, а множество B = {0, 2, 3, –1} является встречной областью той же функции. Теперь обратите внимание, что набор, образованный элементами, которые получают стрелку (оранжевого цвета), образованную элементами {0, 2, –1}, является подмножеством встречной области B, этот набор является изображением функции е, таким образом:
Dж = A = {1, 2, 3, 4}
CDж = B = {0, 2, 3, -1}
яж = {0, 2, –1}
Мы говорим, что 0 изображение элемента 1 домена, а также 2 это образ элементов 2 а также 3 домена и –1 изображение элемента 4 домена. Чтобы узнать больше об этих трех концепциях, прочтите: Dдомен, домен и изображение.
Сюръективная функция
Функция ж: A → B будет сюръективным или сюръективным тогда и только тогда, когда множество изображений совпадает с контрдоменом, то есть если все элементы контрадомена являются изображениями.
Мы говорим тогда, что функция сюръективна, когда все элементы встречной области получают стрелки. Если вы хотите глубже изучить этот тип функций, посетите наш текст: Функция Overjet.
Инъективная функция
Функция ж: A → B будет инъективным или инъективным тогда и только тогда, когда отдельные элементы домена имеют разные изображения в контрдомене, то есть похожие изображения генерируются подобными элементами домена.
Обратите внимание, что условие состоит в том, что разные элементы домена относятся к разным элементам контрдомена, и нет проблем с остальными элементами в контрдомене. Чтобы лучше понять эту концепцию, вы можете прочитать текст: Функция инжектора.
Функция бижектора
Функция ж: A → B будет биективным тогда и только тогда, когда оно инжектор и нагнетатель одновременно, то есть отдельные элементы домена имеют разные изображения, и изображение совпадает с контрдоменом.
- Пример
В каждом случае выясните, является ли функция f (x) = x2 он инъекционный, сюръективный или биективный.
) ж: ℝ+ → ℝ
Обратите внимание, что домен функции - это все положительные действительные числа, а контрдомен - все действительные числа. Мы знаем, что функция f задается формулой f (x) = x2, теперь представьте, что все положительные действительные числа высокая в квадрате, все изображения также будут положительными. Таким образом, мы можем сделать вывод, что функция является инъекционной, а не сюръективной, поскольку отрицательные действительные числа не будут получать стрелки.
Это инъекция, поскольку каждый элемент домена (ℝ+) относится только к одному элементу встречной области (ℝ).
Б) ж: ℝ → ℝ+
Функция, в этом случае, имеет домен как все действительные числа и встречный домен как положительные действительные числа. Мы знаем, что любое действительное число в квадрате положительно, поэтому все элементы встречной области получили стрелки, поэтому функция сюръективна. Это не будет инъекцией, потому что элементы домена относятся к двум элементам противоположного домена, например:
ж(–2) = (–2)2 = 4
ж(2) = (2)2 = 4
ç) ж:ℝ+ → ℝ+
В этом примере функция имеет домен и контрдомен как положительные действительные числа, поэтому функция бижектор потому что каждое положительное действительное число относится к одному настоящий номер положительное значение контрдомена, в данном случае квадрат числа. Кроме того, стрелки получили все номера контрдоменов.
составная функция
В составная функция связан с идея ярлыка. Рассмотрим три непустых множества A, B и C. Также рассмотрим две функции f и g, где функция f переводит элементы x из множества A в элементы y = f (x) из множества B, а функция g переводит элементы y = f (x) в элементы z из множества C.
Составная функция получила это имя, потому что это приложение, которое принимает элементы из набора A непосредственно в элементы из набора C, не проходя через набор B, посредством композиции функций f и g. Посмотрите:
Функция, обозначенная (f o g), берет элементы из множества A непосредственно в множество C. Это называется составной функцией.
- Пример
Рассмотрим функцию f (x) = x2 и функция g (x) = x + 1. Найдите составные функции (f o g) (x) и (g o f) (x).
Функция f o g задается функцией g, примененной к f, то есть:
(ж о г) (х) = е (г (х))
Чтобы определить эту составную функцию, мы должны рассмотреть функцию ж, а вместо переменной x нужно написать функцию грамм. Посмотрите:
Икс2
(х + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
Аналогично, чтобы определить составную функцию (g o f) (x), мы должны применить функцию ж в роли грамм, то есть рассмотрим функцию g и напишем функцию f вместо переменной. Посмотрите:
(х + 1)
Икс2 + 1
Следовательно, составная функция (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Четная функция
Рассмотрим функцию ж: A → ℝ, где A - подмножество непустых вещественных чисел. Функция f будет четной только для всех действительных x.
Пример
Рассмотрим функцию ж: ℝ → ℝ, задаваемое формулой f (x) = x2.
Обратите внимание, что для любого действительного значения x в квадрате результат всегда положительный, то есть:
f (х) = х2
а также
f (–x) = (–x)2 = х2
Таким образом, f (x) = f (–x) для любого действительного значения x, поэтому функция ж это пара.
Читайте тоже:Силовые свойствас - какие они и как в использоватьвоздуха?
уникальная функция
Рассмотрим функцию ж: A → ℝ, где A - подмножество непустых вещественных чисел. Функция f будет нечетной только для всех действительных x.
- Пример
Рассмотрим функцию ж: ℝ → ℝ, задаваемое формулой f (x) = x3.
Обратите внимание, что для любого значения x мы можем написать, что (–x)3 = -x3. Посмотрите несколько примеров:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Итак, мы можем сказать, что:
f (–x) = (–x)3 = –Икс3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Итак, для любого действительного x f (–x) = –f (x), и поэтому функция f (x) = x3 уникален.
возрастающая функция
Функция ж é растущий с интервалом тогда и только тогда, когда по мере роста элементов домена их изображения также растут. Посмотрите:
Обратите внимание, что x1 > х2 и то же самое происходит с изображением, поэтому мы можем установить алгебраическое условие для функции ж быть растущий.
Функция по убыванию
Функция ж é уменьшение с интервалом тогда и только тогда, когда по мере роста элементов домена их изображения уменьшаются. Посмотрите:
Обратите внимание, что в области функций мы имеем x1 > х2, однако этого не происходит в изображении функции, где f (x1)
постоянная функция
Как следует из названия, функция постоянный когда для любого значения домен значение изображения всегда одно и то же.
связанная функция
В аффинная функция или многочлен первой степени записывается в виде:
е (х) = ах + Ь
Где a и b - действительные числа, a ненулевое значение, а ваш график представляет собой линию. Функция имеет реальный домен, а также реальный контрдомен.
квадратичная функция
В квадратичная функция или полиномиальная функция второй степени определяется выражением а многочлен второго класса, таким образом:
f (x) = ах2 + bx + c
Где a, b и c - действительные числа с ненулевым значением, а ваш график представляет собой притча. Роль также имеет реальный домен и домен счетчика.
модульная функция
В модульная функция с участием переменная x находитесли внутри модуля и алгебраически это выражается:
f (x) = | x |
Функция также имеет реальный домен и домен счетчика, то есть мы можем вычислить абсолютное значение любого действительного числа.
экспоненциальная функция
В экспоненциальная функцияотображает переменную x в экспоненте. Он также имеет реальную область и реальную контрдомен и алгебраически описывается следующим образом:
f (x) = аИкс
Где а - действительное число больше нуля.
логарифмическая функция
В логарифмическая функция имеет переменная в логарифме и область, образованная действительными числами больше нуля.
Тригонометрические функции
В тригонометрические функции иметь переменная x, включающая тригонометрические отношения, основными из них являются:
е (х) = грех (х)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
корневая функция
Корневая функция характеризуется наличием переменная внутри корняпри этом, если индекс корня четный, область определения функции становится только положительными действительными числами.
Робсон Луис
Учитель математики