Таблица истинности или таблица истинности - математический инструмент, широко используемый в области логических рассуждений. Его цель - проверить логическую обоснованность составного предложения (аргумента, образованного двумя или более простыми предложениями).
Примеры составных суждений:
- Джон высокий а также Мэри невысокого роста.
- Питер высокий или же Джоана блондинка.
- если Питер высокий, тогда Джоан рыжая.
Каждое из вышеперечисленных сложных предложений образовано двумя простыми предложениями, соединенными жирными связками. Каждое простое предложение может быть истинным или ложным, и это напрямую подразумевает логическую ценность составного предложения. Если мы примем фразу "Джон высокий, а Мэри невысокая”, Возможные оценки этого утверждения будут:
- Если Джон высокий, а Мэри невысокая, фраза «Джон высокий, а Мария невысокая» ИСТИНА.
- Если Джон высокий, а Мэри невысокого роста, фраза «Джон высокий, а Мария невысокая» ЛОЖНА.
- Если Джон невысокий, а Мэри невысокая, фраза «Джон высокий, а Мария невысокая» ЛОЖНА.
- Если Джон невысокий, а Мэри невысокого роста, фраза «Джон высокий, а Мария невысокая» ЛОЖНА.
Таблица истинности описывает те же рассуждения (см. Соединение ниже) более прямо. Также могут применяться правила таблицы истинности. независимо от количества предложений в предложении.
Как это работает?
Во-первых, превратите предложения вопроса в символы, используемые в логике. Список общеупотребительных символов:
| Символ | Логическая операция | Имея в виду | Пример |
|---|---|---|---|
| п | . | Предложение 1. | p = Джон высокий. |
| какие | . | Предложение 2. | q = Мэри невысокого роста. |
| ~ | Отрицание | нет | Если Джон высокий, "~ р" это подделка. |
| ^ | Соединение | а также | п^какие = Джон высокий, а Мэри невысокая. |
| v | Дизъюнкция | или же | пvq = Джон высокий или Мэри невысокая. |
| → | Условный | если тогда | п→какие = Если Джон высокий, то Мэри низкая. |
| ↔ | двусмысленный | если и только если | п↔q = Джон высокий тогда и только тогда, когда Мэри невысокого роста. |
Затем составляется таблица со всеми возможностями оценки составного предложения, заменяя утверждения символами. Стоит уточнить, что в случаях, когда предложений более двух, они могут быть обозначены буквами р, s, и так далее.
Наконец, применяется логическая операция, определяемая показанным соединителем. Как указано выше, эти операции могут быть: отрицанием, соединением, дизъюнкцией, условным и двусмысленным условием.
Отрицание
Отрицание символизируется ~. Логическая операция отрицания является самой простой и часто не требует использования таблицы истинности. Следуя тому же примеру, если Джон высокий (p), говоря, что Джон невысокий (~ p), ЛОЖНО, и наоборот.
Соединение
Союз символизируется ^. Пример «Джон высокий, а Мария невысокая» будет обозначаться буквой «p».^q "и таблица истинности будет:
Соединение предлагает идею накопления, поэтому, если одно из простых утверждений ложно, составное предложение не может быть истинным.
Заключение: конъюнктивные составные предложения (содержащие соединительное а также) будет истинным только тогда, когда все его элементы истинны.
Пример:
- Пауло, Ренато и Тулио добрые, а Каролина забавная. - Если Пауло, Ренато или Тулио недобрые или Каролина не смешная, предложение будет ЛОЖНЫМ. Необходимо, чтобы все информация верна для того, чтобы составное предложение было ИСТИННЫМ.
Дизъюнкция
Дизъюнкция символизируется v. Замена связки из приведенного выше примера на или же у нас будет «Джон высокий или Мэри невысокая». В этом случае фраза будет обозначена буквой "p".vq "и таблица истинности будет:
Дизъюнкция подразумевает идею чередования, поэтому достаточно, чтобы одно из простых утверждений было истинным, чтобы составное утверждение также было истинным.
Заключение: дизъюнктивные составные предложения (которые содержат связку или же) будет ложным только тогда, когда все его элементы ложны.
Пример:
- Моя мать, отец или дядя сделают мне подарок. - Для того, чтобы утверждение было ИСТИННЫМ, достаточно того, что только один из матери, отца или дяди делает подарок. Предложение будет ЛОЖНЫМ только в том случае, если никто из них не даст его.
Условный
Условное обозначение →. Это выражается связками если а также тогда, которые связывают простые предложения в причинно-следственной связи. Пример «Если Пауло из Рио-де-Жанейро, значит, он бразилец» превращается в «p.→q "и таблица истинности будет:
Условные предложения имеют предшествующее и последующее суждения., разделены соединительным элементом тогда. При анализе условных выражений необходимо оценить, в каких случаях утверждение это может быть возможно, рассмотрение отношения импликации между антецедентом и следствием.
Заключение: Условные сложные предложения (содержащие связки если а также тогда) будет ложным только в том случае, если первое утверждение истинно, а второе - ложно.
Пример:
- Если Пауло из Рио, то он бразилец. - Чтобы это предложение считалось ИСТИННЫМ, необходимо оценить случаи, в которых это ВОЗМОЖНО. Согласно приведенной выше таблице истинности, мы имеем:
- Пауло из Рио / Паулу из Бразилии = ВОЗМОЖНО
- Пауло из Рио-де-Жанейро / Пауло не из Бразилии = НЕВОЗМОЖНО
- Пауло не из Рио / Пауло из Бразилии = ВОЗМОЖНО
- Пауло не кариока / Пауло не бразилец = ВОЗМОЖНО
двусмысленный
Биконусловия обозначается ↔. Читается через связки если а также только если, которые связывают простые предложения в отношении эквивалентности. Пример «Джон счастлив тогда и только тогда, когда Мэри улыбается». становится "p↔q "и таблица истинности будет:
Двуусловия предполагают идею взаимозависимости. Как видно из названия, двусмысленное выражение состоит из двух условных операторов: одно, которое начинается с п для какие (П→q) и другой в противоположном направлении (q→П).
Заключение: В биконусные сложные предложения (содержащие связки если а также только если) будет истинным только тогда, когда все предложения верны или все предложения ложны.
Пример:
- Жуан счастлив тогда и только тогда, когда Мария улыбается. - Означает, что:
- Если Джон счастлив, Мэри улыбается, а если Мэри улыбается, Джон счастлив = НАСТОЯЩИЙ
- Если Джон не счастлив, Мэри не улыбается, а если Мэри не улыбается, Джон не счастлив = НАСТОЯЩИЙ
- Если Жуан счастлив, Мария не улыбается = ЛОЖЬ
- Если Жоао недоволен, Мария улыбается = ЛОЖЬ.
Обзор
Специалисты по таблицам истинности обычно запоминают выводы каждой логической операции. Чтобы сэкономить время при решении проблем, всегда помните, что:
- Конъюнктивные предложения: Они будут правдой только тогда, когда верны все элементы.
- Дизъюнктивные предложения: Он будет ложным только тогда, когда все элементы ложны.
- Условные предложения: Они будут ложными только тогда, когда первое утверждение истинно, а второе - ложно.
- Биконусные предложения: Это будет истинно только тогда, когда все элементы истинны или все элементы ложны.
