Сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника

Ты выпуклые многоугольники те, у которых нет вогнутости. Чтобы увидеть, является ли многоугольник выпуклым или нет, мы должны наблюдать, не проходит ли какой-либо отрезок прямой с концами на рисунке через внешнюю область.

В выпуклых многоугольниках есть формулы, позволяющие определить сумму внутреннего и внешнего углов. Проверить!

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника

Формула сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с n сторон:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Демонстрация:

Если мы посмотрим, то увидим, что каждый выпуклый многоугольник можно разделить на определенное количество треугольников. См. Несколько примеров:

Итак, помня, что сумма внутренних углов треугольника всегда равно 180 °, мы видим, что сумма внутренних углов на этих рисунках выше будет выражена числом треугольников, которые можно разделить на 180 °:

четырехугольник: 2 треугольника ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 2 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$
Пентагон: 3 треугольника ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}}$
Шестиугольник: 4 треугольника ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 4 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 720 ^ {\ circ}}$

Итак, чтобы получить формулу для вычисления суммы внутренних углов выпуклого многоугольника, нам просто нужно знать, вообще говоря, на сколько треугольников можно разделить выпуклый многоугольник.

instagram story viewer

Если мы наблюдаем, существует взаимосвязь между этой величиной и количеством сторон фигур. Количество треугольников равно количеству сторон фигуры минус 2, то есть:

$\ dpi {120} \ mathrm {Всего \, из \, трех \ hat {a} углов = n - 2}$

Четырехугольник: 4 стороны ⇒ n - 2 = 4-2 = 2
Пентагон: 5 сторон ⇒ n - 2 = 5-2 = 3
Шестиугольник: 6 сторон ⇒ n - 2 = 6-2 = 4

Итак, в общем случае сумма внутренних углов выпуклого многоугольника определяется как: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Эту формулу мы хотели продемонстрировать.

Пример:

Найдите сумму внутренних углов выпуклого икосугольника.

Икозагон - это многоугольник с 20 сторонами, то есть n = 20. Заменим это значение в формуле:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (20-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 18 \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3240 ^ {\ circ}}$

Следовательно, сумма внутренних углов выпуклого икосогона равна 3240 °.

Сумма внешних углов многоугольника

THE сумма внешних углов выпуклого многоугольника всегда равно 360 °, то есть:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_e = 360 ^ {\ circ}}$

Демонстрация:

Ознакомьтесь с некоторыми бесплатными курсами

Бесплатный онлайн-курс инклюзивного образования
Бесплатная онлайн-библиотека игрушек и обучающий курс
Бесплатные онлайн-курсы по математическим играм в дошкольном образовании
Бесплатный онлайн-курс педагогических и культурных семинаров

Покажем на примерах, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника не зависит от количества сторон фигуры и всегда равна 360 °.

Четырехугольник:

четырехугольник Обратите внимание, что каждый внутренний угол образует угол 180 ° с внешним углом. Итак, поскольку вершин четыре, сумма всех углов равна 4. 180° = 720°.

То есть: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 720 ^ {\ circ}}$

Скоро:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - S_i}$

Один раз $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 360 ^ {\ circ}}$ , тогда:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - 360 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$

Пентагон:

В пятиугольнике 5 вершин, поэтому сумма всех углов равна 5. 180° = 900°. Скоро: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 900 ^ {\ circ}}$ . Потом: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - S_i}$ . Один раз $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 540 ^ {\ circ}}$ , тогда: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - 540 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Шестиугольник:

В шестиугольнике 6 вершин, поэтому сумма всех углов равна 6. 180° = 1080°. Скоро: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1080 ^ {\ circ}}$ . Потом: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - S_i}$ . Один раз $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 710 ^ {\ circ}}$ , тогда: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - 720 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Как видите, во всех трех примерах сумма внешних углов, $\ dpi {120} \ mathrm {S_e}$ , в результате получилось 360 °.

Пример:

Сумма внутреннего и внешнего углов многоугольника равна 1800 °. Что это за многоугольник?

У нас есть: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1800 ^ {\ circ}}$ . Зная, что в любом многоугольнике $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 360 ^ {\ circ}}$ , то имеем: