Упражнения со сложными числами: список решаемых вопросов и отзывы

Ты комплексные числа позволяют решать математические задачи, не имеющие решений в наборе вещественные числа.

В комплексном числе записывается как $\ dpi {120} z = a + bi$ мы говорим, что $\ dpi {120} в$ это настоящая часть, $\ dpi {120} б$ это мнимая часть и $\ dpi {120} я = \ sqrt {-1}$ это мнимая единица.

Выполнить операции с комплексными числами, есть выражения, упрощающие вычисления. Рассмотреть возможность $\ dpi {120} z_1 = а + би$ а также $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Выражение сложения между комплексными числами:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Выражение вычитания между комплексными числами:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Выражение умножения комплексных чисел:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Выражение деления комплексных чисел:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - ad)} {c ^ 2 + d ^ 2 }я$

Ниже приведен список вопросы, решаемые с помощью упражнений на комплексные числа. Научитесь использовать каждую из концепций, связанных с этими числами!

Индекс

Список упражнений на комплексные числа
Решение вопроса 1
Решение вопроса 2
Решение вопроса 3
Решение вопроса 4
Решение вопроса 5
Решение вопроса 6
Решение вопроса 7
Решение вопроса 8

Список упражнений на комплексные числа

Вопрос 1. Учитывая комплексные числа $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2–5i$ а также $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ определить стоимость $\ dpi {120} А$ , Когда $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Вопрос 2. Найдите значения $\ dpi {120} x$ а также $\ dpi {120} г$ такой, что $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

instagram story viewer

Вопрос 3. Учитывая комплексные числа $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ а также $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , определить значение $\ dpi {120} А \ cdot B$ , Когда $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ а также $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Вопрос 4. Рассчитайте стоимость $\ dpi {120} p$ а также $\ dpi {120} q$ для чего $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Когда $\ dpi {120} z_1 = 3 - пи$ а также $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Вопрос 5. Определите стоимость $\ dpi {120} в$ для чего $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ быть чисто мнимым числом.

Вопрос 6. Вычислите следующие мнимые единицы мощности $\ dpi {120} я$ :

) $\ dpi {120} я ^ {16}$
Б) $\ dpi {120} я ^ {200}$
ç) $\ dpi {120} я ^ {829}$
г) $\ dpi {120} я ^ {11475}$

Вопрос 7. Найдите решение уравнения $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ в наборе комплексных чисел.

Вопрос 8. Найдите решение уравнения $\ dpi {120} х ^ 2 + х + 1 = 0$ в наборе комплексных чисел.

Решение вопроса 1

У нас есть $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ а также $\ dpi {120} z_2 = 2–5i$ а также $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ и мы хотим определить стоимость $\ dpi {120} А$ , Когда $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Сначала посчитаем $\ dpi {120} 4z_3$ а также $\ dpi {120} 3z_1$ , в отдельности:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

А теперь посчитаем $\ dpi {120} А$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

Решение вопроса 2

Мы хотим найти x и y так, чтобы $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Выражая сумму между двумя комплексными числами, мы должны:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Итак, мы должны иметь $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ а также $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Давайте решим эти два уравнения, чтобы найти x и y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

Решение вопроса 3

У нас есть $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ а также $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ и мы хотим определить стоимость $\ dpi {120} А \ cdot B$ , Когда $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ а также $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Сначала вычисляем $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Выражая умножение двух комплексных чисел, мы должны:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

А теперь посчитаем $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1-3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = 10$

Следовательно, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

Решение вопроса 4

Мы хотим рассчитать стоимость $\ dpi {120} p$ а также $\ dpi {120} q$ для чего $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Когда $\ dpi {120} z_1 = 3 - пи$ а также $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Это значит найти $\ dpi {120} p$ а также $\ dpi {120} q$ чтобы:

Ознакомьтесь с некоторыми бесплатными курсами

Бесплатный онлайн-курс инклюзивного образования
Бесплатная онлайн-библиотека игрушек и обучающий курс
Бесплатные онлайн-курсы по математическим играм в дошкольном образовании
Бесплатный онлайн-курс педагогических и культурных семинаров

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Выражая деление между двумя комплексными числами, мы должны:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Присоединяясь к двум условиям, мы должны иметь:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

То есть:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Давайте решим каждое из этих уравнений, начиная со второго, которое зависит только от p.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} я = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

Теперь мы находим q по другому уравнению:

$\ dpi {120} \ frac {3–2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3–2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

Решение вопроса 5

Мы хотим найти значение $\ dpi {120} в$ для чего $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ быть чисто мнимым числом.

Чисто мнимое число - это число, действительная часть которого равна нулю.

Рассматривая выражение деления между двумя комплексными числами, мы имеем следующее:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

Чтобы это число было чисто мнимым, мы должны иметь:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow a = -2$

Решение вопроса 6

Определяя степени и комплексные числа, мы должны:

$\ dpi {120} я ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} я ^ 1 = я$
$\ dpi {120} я ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} я ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} я ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} я ^ 5 = я$
$\ dpi {120} я ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} я ^ 7 = -i$

Обратите внимание на образец, который повторяется каждые четыре последовательных степени: 1, i, -1 и -i.

Таким образом, чтобы найти результат при любой степени i, просто разделите показатель степени на 4. Остаток от деления будет равен 0, 1, 2 или 3, и это значение будет показателем степени, который мы должны использовать.

) $\ dpi {120} я ^ {16}$

16: 4 = 4, а остальное - 0.

Потом, $\ dpi {120} я ^ {16} = я ^ 0 = 1$ .