Тригонометрические функции полудуги

В тригонометрические функции, синус, косинус и тангенс половины дуги могут быть получены из тригонометрических функций двойной дуги.

Учитывая дугу меры $\ dpi {120} \ alpha$ , двойной лук - это лук $\ dpi {120} 2 \ alpha$ а половина лука - это лук $\ dpi {120} \ alpha / 2$ .

От две формулы сложения дуги, имеем тригонометрические функции двойной дуги:

Синус:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ альфа} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (сен \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

косинус:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ альфа} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Касательная:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - загар \, {\ альфа} \ cdot загар \, {\ альфа}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}$

По этим формулам мы покажем формулы для полудуговые тригонометрические функции.

Тригонометрические функции полудуги

Один из фундаментальные отношения тригонометрии в том, что:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Откуда мы получаем:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

замена $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ в формуле косинуса двойной дуги мы должны:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

Ознакомьтесь с некоторыми бесплатными курсами

Бесплатный онлайн-курс инклюзивного образования
Бесплатная онлайн-библиотека игрушек и обучающий курс
Бесплатные онлайн-курсы по математическим играм в дошкольном образовании
Бесплатный онлайн-курс педагогических и культурных семинаров

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Следовательно: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

замена $\ dpi {120} \ alpha$ на $\ dpi {120} \ alpha / 2$ в приведенной выше формуле и извлекая квадратный корень с обеих сторон, мы получаем формулу для косинус дуги половины:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Примечание. Знак в формуле будет положительным или отрицательным в зависимости от квадранта половины дуги.

instagram story viewer

Сейчас заменяю $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ в формуле косинуса двойной дуги мы должны:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - сен ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Следовательно:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {сен ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

замена $\ dpi {120} \ alpha$ на $\ dpi {120} \ alpha / 2$ в приведенной выше формуле и извлекая квадратный корень с обеих сторон, мы получаем формулу для синус дуги половины:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Примечание. Знак в формуле будет положительным или отрицательным в зависимости от квадранта половины дуги.

Наконец, мы можем получить тангенс половины дуги, разделив синус половины дуги на косинус половины дуги:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \альфа}}}$

Следовательно, формула половина арктангенса é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ альфа}}}}$

Примечание. Знак в формуле будет положительным или отрицательным в зависимости от квадранта половины дуги.

Вам также может быть интересно:

тригонометрический круг
тригонометрическая таблица
Тригонометрические отношения
закон грехов
закон косинуса

Пароль был отправлен на вашу электронную почту.

Тригонометрические функции полудуги

Тригонометрические функции полудуги

Как сделать запись

Что такое стихотворение?

Легенда Рыжей Бороды