Тригонометрические функции полудуги

В тригонометрические функции, синус, косинус и тангенс половины дуги могут быть получены из тригонометрических функций двойной дуги.

Учитывая дугу меры $\ dpi {120} \ alpha$ , двойной лук - это лук $\ dpi {120} 2 \ alpha$ а половина лука - это лук $\ dpi {120} \ alpha / 2$ .

От две формулы сложения дуги, имеем тригонометрические функции двойной дуги:

Синус:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ альфа} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (сен \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

косинус:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ альфа} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Касательная:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - загар \, {\ альфа} \ cdot загар \, {\ альфа}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}$

По этим формулам мы покажем формулы для полудуговые тригонометрические функции.

Тригонометрические функции полудуги

Один из фундаментальные отношения тригонометрии в том, что:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Откуда мы получаем:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

замена $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ в формуле косинуса двойной дуги мы должны:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

Ознакомьтесь с некоторыми бесплатными курсами

Бесплатный онлайн-курс инклюзивного образования
Бесплатная онлайн-библиотека игрушек и обучающий курс
Бесплатные онлайн-курсы по математическим играм в дошкольном образовании
Бесплатный онлайн-курс педагогических и культурных семинаров

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Следовательно: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

замена $\ dpi {120} \ alpha$ на $\ dpi {120} \ alpha / 2$ в приведенной выше формуле и извлекая квадратный корень с обеих сторон, мы получаем формулу для косинус дуги половины:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Примечание. Знак в формуле будет положительным или отрицательным в зависимости от квадранта половины дуги.

instagram story viewer

Сейчас заменяю $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ в формуле косинуса двойной дуги мы должны:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - сен ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Следовательно:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {сен ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

замена $\ dpi {120} \ alpha$ на $\ dpi {120} \ alpha / 2$ в приведенной выше формуле и извлекая квадратный корень с обеих сторон, мы получаем формулу для синус дуги половины:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Примечание. Знак в формуле будет положительным или отрицательным в зависимости от квадранта половины дуги.

Наконец, мы можем получить тангенс половины дуги, разделив синус половины дуги на косинус половины дуги:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \альфа}}}$

Следовательно, формула половина арктангенса é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ альфа}}}}$

Примечание. Знак в формуле будет положительным или отрицательным в зависимости от квадранта половины дуги.

Вам также может быть интересно:

тригонометрический круг
тригонометрическая таблица
Тригонометрические отношения
закон грехов
закон косинуса

Пароль был отправлен на вашу электронную почту.

Тригонометрические функции полудуги

Тригонометрические функции полудуги

Происхождение португальского языка

Ископаемое топливо: энергия, которая движет миром

В чем разница между клубневым корнем, бугорком и луковицей?