Что такое комплексные числа?

До середины XVI века уравнения вида x² - 6x + 10 = 0 просто считались «без решения». Это произошло потому, что, согласно формуле Бхаскары, при решении этого уравнения найденный результат был бы следующим:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

х = –(– 6) ± √– 4
2·1

х = 6 ± √– 4
2

Проблема была обнаружена в √– 4, которая не имеет решения в пределах набора действительных чисел, т. Е. Нет существует действительное число, которое, умноженное само на себя, дает √– 4, так как 2 · 2 = 4 и (–2) (- 2) = 4.

В 1572 году Рафаэль Бомбелли был занят решением уравнения x³ - 15x - 4 = 0 по формуле Кардано. С помощью этой формулы делается вывод, что это уравнение не имеет действительных корней, так как в конечном итоге необходимо вычислить √– 121. Однако после нескольких попыток можно обнаружить, что 4³ - 15 · 4 - 4 = 0 и, следовательно, x = 4 является корнем этого уравнения.

Учитывая существование настоящих корней, не выражаемых формулой Кардано, Бомбелли пришел к выводу, что что √– 121 приведет к √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1, и это может быть «нереальным» корнем для уравнения учился. Таким образом, √– 121 будет частью нового типа числа, составляющего другие необнаруженные корни этого уравнения. Итак, уравнение x

³ - 15x - 4 = 0, имеющий три корня, имел бы x = 4 в качестве действительного корня и два других корня, принадлежащих этому новому типу числа.

В конце 18 века Гаусс назвал эти числа как комплексные числа. В то время комплексные числа уже принимали форму а + би, с участием i = √– 1. Более того, В а также B они уже считались точками декартовой плоскости, известной как плоскость Аргана-Гаусса. Таким образом, комплексное число Z = a + bi имело своим геометрическим представлением точку P (a, b) декартовой плоскости.

Не останавливайся сейчас... После рекламы есть еще кое-что;)

Следовательно, выражение «комплексные числа”Начали использовать по отношению к числовому набору, представителями которого являются: Z = a + bi, i = √– 1 и В а также B принадлежащий набору действительных чисел. Это представление называется алгебраическая форма комплексного числа Z.

Поскольку комплексные числа образуются двумя действительными числами, и одно из них умножается на √– 1, этим действительным числам было дано особое имя. Учитывая комплексное число Z = a + bi, a - это «действительная часть Z», а b - «мнимая часть Z».. Математически мы можем записать соответственно: Re (Z) = a и Im (Z) = b.

Идея модуля комплексного числа выкристаллизовывается аналогично идее модуля действительного числа. Рассматривая точку P (a, b) как геометрическое представление комплексного числа Z = a + bi, расстояние между точкой P и точкой (0,0) определяется как:

| Z | знак равно √(В² + b²)

Второй способ представления комплексных чисел - использовать Полярная или тригонометрическая форма. Эта форма использует в своем составе модуль комплексного числа. Комплексное число Z, алгебраически Z = a + bi, может быть представлено в полярной форме следующим образом:

Z = | Z | · (cosθ + icosθ)

Интересно отметить, что декартова плоскость определяется двумя ортогональными линиями, известными как оси x и y. Мы знаем, что действительные числа могут быть представлены линией, на которой размещены все рациональные числа. Остальные места заполнены иррациональными числами. Принимая во внимание, что все реальные числа находятся на линии, известной как Ось X от декартовой плоскости, все другие точки, принадлежащие этой плоскости, будут разницей между комплексными числами и действительными числами. Таким образом, набор действительных чисел содержится в наборе комплексных чисел.

Луис Пауло Морейра
Окончил математику

Хотели бы вы ссылаться на этот текст в учебе или учебе? Посмотрите:

СИЛЬВА, Луис Пауло Морейра. «Что такое комплексные числа?»; Бразильская школа. Доступно в: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm. Доступ 27 июня 2021 г.