В закон косинуса является тригонометрическое отношение используется, чтобы связать стороны и углы на одной треугольник любой, то есть тот треугольник, который не обязательно имеет прямой угол. Обратите внимание на следующий треугольник ABC с выделенными мерами:
В законИзкосинусы может быть задан одним из следующих выражения:
В2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosα
B2 = the2 + c2 - 2 · a · c · cosβ
ç2 = b2 +2 - 2 · b · a · cosθ
Наблюдение: Нет необходимости запоминать эти три формулы. Просто знай, что законИзкосинусы всегда можно построить. Обратите внимание, что в первом выражении α - это угол, противоположный стороне, размер которой определяется выражением В. Формулу мы начинаем с квадрата на противоположной стороне угла, который будет использоваться в расчетах. Он будет равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения двух сторон, не противоположных этому углу, на величину косинус из α.
Таким образом, три приведенные выше формулы можно свести к:
В2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosα
Пока мы знаем, что «" - это измерение на противоположной стороне от «α», а «b» и «c» - это измерения на двух других сторонах треугольник.
Демонстрация
Учитывая треугольник Любая азбука, с размерами, выделенными на следующем рисунке:
Рассмотрим треугольники ABD и BCD, образованные высотой BD треугольника ABC. С помощью теорема Пифагора в ABD у нас будет:
ç2 = х2 + ч2
ЧАС2 = c2 - Икс2
Используя ту же теорему для треугольник BCD у нас будет:
В2 = y2 + ч2
ЧАС2 = the2 - у2
Зная, что есть2 = c2 - Икс2, Мы будем иметь:
ç2 - Икс2 = the2 - у2
ç2 - Икс2 + y2 = the2
В2 = c2 - Икс2 + y2
Обратите внимание на изображение треугольник где b = x + y, где y = b - x. Заменив это значение в полученном ранее результате, мы получим:
В2 = c2 - Икс2 + y2
В2 = c2 - Икс2 + (Ь - х)2
В2 = c2 - Икс2 + b2 - 2bx + x2
В2 = c2 + b2 - 2bx
Продолжая смотреть на рисунок, обратите внимание, что:
cosα = Икс
ç
c · cosα = x
х = c · cosα
Подставив этот результат в предыдущее выражение, мы получим:
В2 = c2 + b2 - 2bx
В2 = c2 + b2 - 2b · c · cosα
Это как раз первое из трех представленных выше выражений. Два других можно получить аналогично этому.
Пример - На треугольник затем вычислите меру x.
Решение:
С помощью законИзкосинусы, обратите внимание, что x - это размер стороны, противоположной углу 60 °. Следовательно, первым «числом», которое должно появиться в решении, должно быть оно:
Икс2 = 102 + 102 - 2 · 10 · 10 · cos60 °
Икс2 = 100 + 100-2 · 100 · cos60 °
Икс2 = 200 - 200 · cos60 °
Икс2 = 200 – 200·1
2
Икс2 = 200 – 100
Икс2 = 100
х = ± √100
х = ± 10
Поскольку отрицательных длин нет, результатом должно быть только положительное значение, т.е. x = 10 см.
Луис Морейра
Окончил математику
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm
