Меры дисперсии: дисперсия и стандартное отклонение

При изучении Статистика, у нас есть несколько стратегий, позволяющих проверить, разбросаны ли значения, представленные в наборе данных, и насколько далеко они могут быть друг от друга. Инструменты, которые сделали это возможным, классифицируются как меры дисперсии и позвонил отклонение и стандартное отклонение. Посмотрим, что представляет собой каждый из них:

Разница:

• Для данного набора данных дисперсия - это мера дисперсии, которая показывает, насколько каждое значение в этом наборе отстоит от центрального (среднего) значения.

• Чем меньше дисперсия, тем ближе значения к среднему; но чем он больше, тем дальше значения от среднего.

• Считают, что Икс₁, Икс₂, …, Икс_нетони нет элементы образец в том, что X и среднее арифметическое этих элементов. Расчет выборочная дисперсия Выдается:

  Вар. образец = (Икс₁ – Икс) ² + (x₂ – Икс) ² + (x₃ – Икс)² +... + (х_нет – Икс)²
  ​п - 1

• Если, с другой стороны, мы хотим вычислить дисперсия населения, мы будем рассматривать все элементы генеральной совокупности, а не только выборку. В этом случае в расчете есть небольшая разница. Смотреть:

  Вар. население = (Икс₁ – Икс) ² + (x₂ – Икс) ² + (x₃ – Икс)² +... + (х_нет – Икс)²
  нет

Стандартное отклонение:

• Стандартное отклонение может идентифицировать «ошибку» в наборе данных, если мы хотим заменить одно из собранных значений средним арифметическим.

• Стандартное отклонение отображается рядом со средним арифметическим, показывая, насколько «надежным» является это значение. Он представлен следующим образом:

  среднее арифметическое (Икс) ± стандартное отклонение (sd)

• Расчет стандартного отклонения производится из положительного квадратного корня из дисперсии. Следовательно:

  dp = √var

Давайте теперь применим расчет дисперсии и стандартного отклонения в примере:

В одной школе совет решил посмотреть количество учеников, которые имеют все оценки выше среднего по всем предметам. Чтобы лучше проанализировать это, директор Ана решила собрать таблицу с количеством «синих» оценок в выборке из четырех классов за год. См. Ниже таблицу, составленную директором школы:

Перед вычислением дисперсии необходимо проверить среднее арифметическое(Икс) количество учеников выше среднего в каждом классе:

6-й год → Икс = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

7-й год → Икс = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

8-й год → Икс = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

9-й год → Икс = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Чтобы вычислить дисперсию количества учащихся выше среднего в каждом классе, мы используем образец, поэтому мы используем формулу выборочная дисперсия:

Вар. образец = (Икс₁ – Икс) ² + (x₂ – Икс) ² + (x₃ – Икс)² +... + (х_нет – Икс)²
п - 1

6-й год → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Вар = 4,33

7-й год → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Вар = 8.00

8-й год → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Вар = 6,91

9-й год → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Вар = 13,66

Как только дисперсия каждого класса известна, давайте теперь вычислим стандартное отклонение:

6-й год dp = √var dp = √4,33 ​dp ≈ 2,08

7-й год dp = √var dp = √8.00 ​dp ≈ 2,83

8-й год dp = √var dp = √6.91 ​dp ≈ 2,63

9-й год dp = √var dp = √13,66 ​dp ≈ 3,70

Чтобы завершить свой анализ, директор школы может представить следующие значения, которые указывают на среднее количество учащихся выше среднего в одном классе:

6-й год: 7,50 ± 2,08 учащихся выше среднего за семестр;
7-й год: 8,00 ± 2,83 студентов выше среднего за два месяца;
8-й год: 8,75 ± 2,63 ученика выше среднего за два месяца;
9-й год: 8,50 ± 3,70 студентов выше среднего за два месяца;

Еще одна мера дисперсии - это коэффициент вариации. Посмотрите Здесь как это рассчитать!

Аманда Гонсалвес
Окончил математику

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm