Обратная матрица: что это такое, как найти упражнения

Концепция чего-либо обратная матрица очень близко подходит к концепции обратного числа. Напомним, что число, обратное нет это номер нет^-1, где произведение между ними равно нейтральному элементу умножение, то есть число 1. Уже обратная матрица M - матрица M^-1, где произведение M · M^-1 равна единичной матрице I_нет, который является не чем иным, как нейтральным элементом умножения матриц.

Чтобы матрица имела обратную, она должна быть квадратной и, кроме того, ее определитель должен быть отличным от нуля, иначе обратного не будет. Чтобы найти обратную матрицу, воспользуемся матричным уравнением.

Тоже читай: Треугольная матрица - специальный вид квадратной матрицы

Чтобы матрица имела инверсию, она должна быть квадратной.

единичная матрица

Чтобы понять, что такое обратная матрица, сначала необходимо знать единичную матрицу. Мы знаем как единичную матрицу квадратную матрицу I_нет где все элементы главной диагонали равны 1, а остальные члены равны 0.

THE единичная матрица - нейтральный элемент умножения матриц.

, то есть с учетом штаб-квартира M порядка n, произведение между матрицей M и матрицей I_нет равна матрице M.

M · I_нет = M

Не останавливайся сейчас... После рекламы есть еще кое-что;)

Как вычислить обратную матрицу

Чтобы найти обратную матрицу M, необходимо решить матричное уравнение:

 М · М^-1 = Я_нет

Пример

Найдите обратную матрицу M.

Поскольку нам неизвестна обратная матрица, давайте представим эту матрицу алгебраически:

Мы знаем, что произведение этих матриц должно быть равно I₂:

Теперь решим матричное уравнение:

Можно разделить проблему на две системы уравнения. Первый использует первый столбец матрицы M · M^-1 и первый столбец единичной матрицы. Итак, нам необходимо:

Чтобы решить систему, давайте выделим₂₁ в уравнение II и подставьте в уравнение I.

Подставляя в уравнение I, мы должны:

Как мы находим ценность₁₁, то найдем значение₂₁:

Зная ценность₂₁ и₁₁, теперь мы найдем значение других терминов, настроив вторую систему:

изоляция₂₂ в уравнении III мы должны:

3-й₁₂ + 1-й₂₂ = 0

В₂₂ = - 3-й₁₂

Подставляя в уравнение IV:

5-й₁₂ + 2-й₂₂ =1

5-й₁₂ + 2 · (- 3-й₁₂) = 1

5-й₁₂ - 6-е₁₂ = 1

- а₁₂ = 1 ( – 1)

В₁₂ = – 1

Зная ценность₁₂, найдем значение₂₂ :

В₂₂ = - 3-й₁₂

В₂₂ = – 3 · ( – 1)

В₂₂ = 3

Теперь, когда мы знаем все члены матрицы M^-1, его можно изобразить:

Читайте тоже: Сложение и вычитание матриц

Свойства обратной матрицы

Есть свойства, которые возникают в результате определения обратной матрицы.

• 1-й объект: обратная матрица M^-1 равна матрице M. Обратной к обратной матрице всегда является сама матрица, то есть (M^-1)^-1 = M, поскольку мы знаем, что M^-1 · M = I_нет, поэтому M^-1 является обратным к M, а также M является обратным к M^-1.
• 2-е свойство: инверсия единичной матрицы сама по себе: I^-1 = I, потому что произведение единичной матрицы само по себе приводит к единичной матрице, то есть I_нет · Я_нет = Я_нет.
• 3-е свойство: обратное произведение двух матрицты равно произведению обратных чисел:

(M × H)^-1 = M^-1 · А^-1.

• 4-й объект: квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее детерминант отлично от 0, то есть det (M) ≠ 0.

решенные упражнения

1) Для данной матрицы A и матрицы B, зная, что они инвертированы, значение x + y равно:

а) 2.

б) 1.

в) 0.

г) -1.

д) -2.

Разрешение:

Альтернатива d.

Построение уравнения:

A · B = I 

По второму столбцу, приравняв члены, мы должны:

3x + 5y = 0 → (I)

2х + 4у = 1 → (II)

Изоляция x в I:

Замена в уравнение II, мы должны:

Зная значение y, найдем значение x:

Теперь посчитаем x + y:

вопрос 2

Матрица имеет инверсию только в том случае, если ее определитель отличен от 0. Глядя на матрицу ниже, при каких значениях x матрица не поддерживает инверсию?

а) 0 и 1.

б) 1 и 2.

в) 2 и - 1.

г) 3 и 0.

д) - 3 и - 2.

разрешение:

Альтернатива b.

Вычисляя определитель A, нам нужны значения, где det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

решение Уравнение 2-й степени, Мы должны:

• а = 1
• б = - 3
• с = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики

Хотели бы вы ссылаться на этот текст в учебе или учебе? Посмотрите:

ОЛИВЕЙРА, Рауль Родригес де. «Обратная матрица»; Бразильская школа. Доступно в: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm. Доступ 28 июня 2021 г.

Типы матриц

Матрица, Тип матриц, Порядок матриц, Матрица строк, матрица столбцов, Нулевая матрица, Матрица квадрат, диагональная матрица, матрица идентичности, противоположная матрица, матрица, равная матрица, равенство матрицы.