THE среднее геометрическое наряду со средним арифметическим и гармоническим средним были разработаны пифагорейской школой. В статистика довольно часто искать представление набора данных одним значением для принятия решения. Одна из возможностей для центрального значения - это среднее геометрическое.
Это полезно для представления набора, в котором данные, которые ведут себя близко к геометрическая прогрессия, а также найти сторону квадратный и куб, зная площадь и объем соответственно. Среднее геометрическое также применяется в ситуации накопления процентного увеличения или уменьшения. Чтобы вычислить среднее геометрическое для набора из n значений, мы вычисляем корень n-й степени произведения элементов, то есть, если в наборе есть три члена, например, мы умножаем три и вычисляем кубический корень из произведения.
Формула среднего геометрического
Среднее геометрическое используется для нахождения
Средняя стоимость между набором данных. Для расчета среднего геометрического необходим набор из двух и более элементов. Пусть A будет набором данных A = (x1, Икс2, Икс3,... Икснет), набор из n элементов, среднее геометрическое для этого набора рассчитывается по формуле:
Читайте тоже: Меры дисперсии: амплитуда и отклонение
Расчет среднего геометрического
Пусть A = {3,12,16,36}, каково будет среднее геометрическое для этого набора?
разрешение:
Чтобы вычислить среднее геометрическое, мы сначала подсчитываем количество членов в наборе, в случае n = 4. Итак, мы должны:
Способ 1: Выполнение умножений.
Поскольку у нас не всегда есть калькулятор для выполнения умножения, можно произвести расчет на основе факторизации натуральное число.
Способ 2: Факторизация.
Используя факторизации, мы должны:
Применение среднего геометрического
Среднее геометрическое может применяться к любому набору статистических данных, но обычно это занят в геометрия, чтобы сравнить стороны призм и кубов одинакового объема или квадратов и прямоугольников одинаковой площади. Также есть приложение в финансовые математические задачи которые включают накопленную процентную ставку, то есть процент под процентом. Помимо того, что это наиболее удобное средство для данных, которые ведут себя как геометрическая прогрессия.
Не останавливайся сейчас... После рекламы есть еще кое-что;)
Пример 1: Приложение в процентах.
Продукт в течение трех месяцев последовательно увеличивался: первый был на 20%, второй - на 10%, а третий - на 25%. Каков был средний процент увеличения в конце этого периода?
разрешение
Первоначально товар стоил 100%, в первый месяц он стал стоить 120%, что в десятичной форме записывается как 1,2. Это рассуждение будет таким же для трех увеличений, поэтому нам нужно среднее геометрическое между: 1,2; 1,1; и 1,25.
Прирост в среднем составляет 18,2% в месяц.
Смотрите также: Расчет процентов по правилу трех
Пример 2: Применение в геометрии.
Каким должно быть значение x на изображении, зная, что квадрат и прямоугольник имеют одинаковую площадь?
Разрешение:
Чтобы найти значение x стороны квадрата, мы вычислим среднее геометрическое между сторонами прямоугольника.
Следовательно, сторона квадрата 12 см.
Пример 3: Геометрическая прогрессия.
Каковы термины P.G., зная, что предшественником центрального значения является x, центральное значение - 10, а преемником центрального значения - 4x.
Разрешение:
Мы знаем термины П.Г. (x, 10,4x), и мы знаем, что среднее геометрическое между преемником и предшественником равно центральному члену P.G., поэтому мы должны:
Разница между средним геометрическим и средним арифметическим
В статистике поведение данных очень важно для выбора одного значения для их представления. Вот почему существуют типы центральных мер, а есть типы СМИ.
Выбор того, какое среднее значение использовать, должен производиться с учетом набора данных, над которым мы работаем. Как видно из примера, если это данные, которые ведут себя близко к геометрической прогрессии и имеют наиболее экспоненциальный рост, рекомендуется использовать среднее геометрическое.
В других ситуациях в основном мы используем среднее арифметическое, например, средний вес человека в течение года. При сравнении вычисления двух типов среднего для одного и того же набора данных геометрическое всегда будет меньше, чем арифметическое.
Когда мы сравниваем формулу среднего арифметического с формулой среднего геометрического, мы замечаем разницу, поскольку первая рассчитывается по формуле сумма терминов, разделеннаяВ по количеству сроков, а второй, как мы видели, вычисляется как корень n-й степени произведения всех членов.
Пример 4: Учитывая набор (3, 9, 27, 81, 243), поймите, что это P.G. отношения 3, так как от первого члена ко второму мы умножаем на три, от второго также к третьему и так далее. При поиске центрального значения для представления этого набора в идеале это должен быть центральный член прогрессии, что происходит, если мы вычисляем среднее геометрическое. Однако при вычислении среднего арифметического большие значения приводят к тому, что значение этого среднего будет слишком высоким по отношению к условия набора, и чем больше значение, тем дальше от представления центрального члена будет среднее арифметическое.
разрешение:
1-е среднее арифметическое
2-е среднее геометрическое
Также доступ: Мода, средний и среднийа - меры центральности
решенные упражнения
Вопрос 1 - Цена на бензин в Бразилии за последние месяцы сильно выросла. Ежемесячный прирост за последние 4 месяца составил, соответственно, 9%, 15%, 25% и 16%. Каков был средний процент прироста в этот период?
а) 15%
б) 15,5%
в) 16%
г) 14%
д) 14,5%
разрешение
Альтернатива А
Вопрос 2 - Призма с прямоугольным основанием имеет такой же объем, как и куб. Зная, что размеры призмы составляют 6 см в длину, 20 см в высоту и 25 см в ширину, какова величина стороны куба в сантиметрах?
Разрешение:
Альтернатива D
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
