Один из методов, используемых для решения квадратные уравнения метод известен как полные квадраты. Этот метод состоит из интерпретации уравнение из второйстепень как полный квадрат трехчлена и напишите свою факторизованную форму. Иногда эта простая процедура уже выявляет корни уравнения.
Следовательно, необходимо иметь базовые знания о известные продукты, трехчленквадратныйИдеально а также полиномиальная факторизация использовать эту технику. Однако часто это позволяет производить расчеты «в голове».
Поэтому напомним три случая продуктызамечательный перед демонстрацией методзавершитьквадраты, которые, в свою очередь, будут раскрыты в трех разных случаях.
Выдающиеся изделия и трехчлены идеального квадрата
Затем посмотрите замечательный продукт, трехчленквадратныйИдеально что эквивалентно ему, и форма учтенный этого трехчлена соответственно. Для этого считайте, что x неизвестно и В - любое действительное число.
(х + к)2 = х2 + 2kx + k2 = (х + к) (х + к)
(х - к)2 = х2 - 2кх + к2 = (х - к) (х - к)
Уравнение второй степени относительно третьей продуктзамечательный, известное как произведение суммы и разницы, может быть решено с использованием метода, который еще больше упрощает вычисления. Поэтому здесь он рассматриваться не будет.
Уравнение представляет собой трехчлен полного квадрата
Если один уравнение из второйстепень является трехчленом полного квадрата, то вы можете определить его коэффициенты как: а = 1, b = 2k или же - 2 тыс. а также c = k2. Чтобы проверить это, просто сравните квадратное уравнение с трехчленквадратныйИдеально.
Следовательно, в решении уравнение из второйстепень Икс2 + 2kx + k2 = 0, у нас всегда будет возможность сделать:
Икс2 + 2kx + k2 = 0
(х + к)2 = 0
√ [(х + к)2] = √0
| х + к | = 0
х + к = 0
х = - к
- х - к = 0
х = - к
Таким образом, решение единственное и равно –k.
Если уравнение быть х2 - 2кх + к2 = 0, мы можем сделать то же самое:
Икс2 - 2кх + к2 = 0
(х - к)2 = 0
√ [(х - к)2] = √0
| x - k | = 0
х - к = 0
х = к
- х + к = 0
- х = - к
х = к
Следовательно, решение единственное и равно k.
Пример: Каковы корни уравнение Икс2 + 16x + 64 = 0?
Обратите внимание, что уравнение представляет собой трехчленквадратныйИдеально, поскольку 2k = 16, где k = 8, а k2 = 64, где k = 8. Итак, мы можем написать:
Икс2 + 16x + 64 = 0
(х + 8)2 = 0
√ [(х + 8)2] = √0
х + 8 = 0
х = - 8
Здесь результат был упрощен, поскольку мы уже знаем, что два решения будут равны одному и тому же действительному числу.
Не останавливайся сейчас... После рекламы есть еще кое-что;)
Уравнение не является трехчленом полного квадрата
В случаях, когда уравнение из второйстепень не является трехчленом полного квадрата, мы можем рассмотреть следующую гипотезу, чтобы вычислить ее результаты:
Икс2 + 2кх + С = 0
Обратите внимание, что для того, чтобы это уравнение превратилось в трехчленквадратныйИдеально, просто замените значение C значением k2. Поскольку это уравнение, единственный способ сделать это - добавить k2 на обоих элементах, а затем поменять местами коэффициент члена C. Смотреть:
Икс2 + 2кх + С = 0
Икс2 + 2kx + C + k2 = 0 + к2
Икс2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
После этой процедуры мы можем перейти к предыдущей технике, преобразовав трехчленквадратныйИдеально в замечательный продукт и вычисление квадратного корня на обеих конечностях.
Икс2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(х + к)2 = k2 - Ç
√ [(х + к)2] = √ (k2 - Ç)
х + к = ± √ (к2 - Ç)
Знак ± появляется всякий раз, когда результат уравнение является квадратным корнем, потому что в этих случаях результат квадратного корня модуль, как показано в первом примере. Наконец, все, что осталось сделать:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
Итак, эти уравнения есть два результата настоящий и различны, или нет реального результата, когда C> k2.
Например, вычислим корни x2 + 6х + 8 = 0.
Решение: Обратите внимание, что 6 = 2 · 3x. Следовательно, k = 3 и, следовательно, k2 = 9. Следовательно, число, которое мы должны сложить в обоих членах, равно 9:
Икс2 + 6x + 8 = 0
Икс2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
Икс2 + 6x + 9 = 9-8
Икс2 + 6x + 9 = 1
(х + 3)2 = 1
√ [(х + 3)2] = ± √1
х + 3 = ± 1
х = ± 1 - 3
х ’= 1 - 3 = - 2
х ’’ = - 1 - 3 = - 4
В этом случае коэффициент a ≠ 1
когда коэффициент В, дает уравнение из второйстепень, отличается от 1, просто разделите все уравнение на числовое значение коэффициента В затем применить один из двух предыдущих методов.
Итак, в уравнении 2x2 + 32x + 128 = 0, у нас уникальный корень равен 8, потому что:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
Икс2 + 16x + 64 = 0
И в уравнении 3x2 + 18x + 24 = 0, имеем корни - 2 и - 4, потому что:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
Икс2 + 6x + 8 = 0
Луис Пауло Морейра
Окончил математику