THE факторизация алгебраических выражений состоит из записи алгебраического выражения в форма продукта. В практических случаях, то есть при решении некоторых задач, связанных с алгебраические выражения, факторизация чрезвычайно полезна, потому что в большинстве ситуаций она упрощает обработанное выражение.
Чтобы выполнить факторизацию алгебраических выражений, мы будем использовать очень важный результат в математике, который называется основная теорема арифметики, в котором говорится, что любое целое число больше 1 может быть записано как произведение простые числа, Посмотрите:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Мы только что вычленили числа 121 и 60.
Тоже читай: Разложение числа на простые множители
Методы факторизации алгебраических выражений
Теперь мы рассмотрим основные методы факторизации, наиболее часто используемые сделаем краткое геометрическое обоснование. Посмотрите:
Факторинг доказательств
Рассмотрим прямоугольник:
Обратите внимание, что прямоугольник синий плюс область зеленого прямоугольника дает больший прямоугольник. Давайте посмотрим на каждую из этих областей:
THEСИНИЙ = b · x
THEЗЕЛЕНЫЙ = b · y
THEБОЛЬШЕ = Ь · (х + у)
Итак, нам необходимо:
THEБОЛЬШЕ = АСИНИЙ + АЗЕЛЕНЫЙ
b (x + y) = bx + по
Примеры
) Чтобы разложить выражение на множители: 12x + 24y.
Обратите внимание, что 12 является доказательством, так как оно присутствует в обеих посылках, поэтому для определения чисел, заключенных в скобки, достаточно. Поделиться каждая посылка по фактору доказательств.
12x: 12 = Икс
24 года: 12 = 2 года
12x + 24y = 12 · (Икс + 2 года)
Б) Разложить на множители выражение 21ab2 - 70-е2Б.
Таким же образом первоначально определяется фактор доказательства, то есть фактор, который повторяется в посылках. Посмотрите, что из числовой части у нас есть 7 как общий множитель, так как он делит оба числа. Теперь, что касается буквальной части, обратите внимание, что повторяется только множитель ab, следовательно, доказательством является: 7ab.
21ab2 - 70-е2b = 7ab (3b - 10В)
Тоже читай: Деление полиномов: как это сделать?
Факторинг по группировке
Факторизация по группировке есть вытекающие из факторинга на основании доказательств, с той лишь разницей, что вместо мономия в качестве общего фактора или фактора доказательства у нас будет полином см. пример:
Рассмотрим выражение (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Обратите внимание, что общим множителем является бином (а + б),следовательно, факторизованная форма предыдущего выражения:
(а + б) · (Ху + wz2)
Не останавливайся сейчас... После рекламы есть еще кое-что;)
разница между двумя квадратами
Рассмотрим два числа a и b, когда у нас есть разница квадрата этих чисел, то есть2 - В2, поэтому мы можем записать их как произведение суммы на разницу, то есть:
В2 - В2 = (а + б) · (а - б)
Примеры
) Чтобы разложить на множители выражение x2 - у2.
Мы можем использовать разницу между двумя квадратами, поэтому:
Икс2 - у2 = (х + у) · (х - у)
Б) Фактор 20202 – 2.0192.
Мы можем использовать разницу между двумя квадратами, поэтому:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Трехчлен полного квадрата
Возьмите следующий квадрат со стороны (a + b) и отметьте площади квадратов и прямоугольников, образовавшихся внутри него.
Посмотреть площадь квадратный больше дается (a + b)2, но, с другой стороны, площадь самого большого квадрата может быть получена путем сложения квадратов и прямоугольников внутри него, например:
(а + б)2 = the2+ ab + ab + b2
(а + б)2 = the2+ 2b + b2
(а + б)2 = the2 + 2ab + b2
Точно так же мы должны:
(а - б)2 = the2 - 2ab + b2
Пример
Рассмотрим выражение x2 + 12x + 36.
Чтобы разложить на множители выражение этого типа, просто определите коэффициент переменной x и независимый коэффициент и сравните с данной формулой, см.:
Икс2 + 12x + 36
В2 + 2ab + b2
Проведя сравнения, увидим, что x = a, 2b = 12 и b2 = 36; равенств, мы имеем, что b = 6, поэтому факторизованное выражение:
Икс2 + 12x + 36 = (х + 6)2
Трехчлен средней школы
Рассмотрим трехчлен топора2 + bx + c. Его факторизованную форму можно найти с помощью твои корни, то есть значения x, которые обнуляют это выражение. Чтобы определить значения, которые делают это выражение нулевым, просто решите уравнение ax2 + bx + c = 0 любым удобным способом. Здесь мы выделяем наиболее известный метод: Метод Бхаскары.
Факторизованная форма трехчлена топора2 + bx + c это:
топор2 + bx + c = a · (x - x1) · (Х - х2)
Пример
Рассмотрим выражение x2 + х - 20.
Первый шаг - определить корни уравнения x.2 + х - 20 = 0.
Итак, факторизованная форма выражения x2 + x - 20 это:
(х - 4) · (х + 5)
Куб разницы между двумя числами
Куб разницы между двумя числами a и b определяется как:
(а - б)3 = (а - б) · (а - б)2
(а - б)3 = (a - b) · (a2 - 2ab + b2)
Куб суммы двух чисел
Точно так же имеем (a + b)3 = (a + b) · (а + б)2 , скоро:
(а + б)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
решенные упражнения
Вопрос 1 - (Cefet-MG) Где число n = 6842 – 6832, сумма цифр n равна:
а) 14
б) 15
в) 16
г) 17
д) 18
разрешение
Альтернатива d. Чтобы определить сумму цифр числа n, мы сначала разложим выражение на множители, поскольку вычисление квадратов и последующее вычитание - ненужная работа. Разложив выражение на множители, используя разницу между двумя квадратами, мы имеем:
n = 6842 – 6832
п = (684 + 683) · (684 - 683)
п = 1,367 · 1
n = 1,367
Следовательно, сумма цифр числа n равна 1 + 3 + 6 + 7 = 17.
Вопрос 2 - (Модифицированный Insper-SP) Определяем значение выражения:
разрешение
Для упрощения записи назовем a = 2009 и b = 2. помните, что 22 = 4, поэтому мы должны:
Обратите внимание, что в числителе дроби у нас есть разница между двумя квадратами, поэтому мы можем записать2 - В2 = (a + b) (a - b). Скоро:
а - б = 2009 - 2 = 2007.
Робсон Луис
Учитель математики
