При изучении комплексных чисел мы сталкиваемся со следующим равенством: i2 = – 1.
Обоснование этого равенства обычно связано с решением уравнений 2-й степени с отрицательными квадратными корнями, что является ошибкой. Происхождение выражения i2 = - 1 появляется в определении комплексных чисел, что также вызывает большие сомнения. Давайте разберемся, в чем причина такого равенства и как оно возникает.
Во-первых, давайте сделаем несколько определений.
1. Упорядоченная пара действительных чисел (x, y) называется комплексным числом.
2. Комплексные числа (x1у1) и (x2у2) равны тогда и только тогда, когда x1 = х2 и у1 = y2.
3. Сложение и умножение комплексных чисел определяется:
(Икс1у1) + (х2у2) = (х1 + х2у1 + y2)
(Икс1у1)*(Икс2у2) = (х1*Икс2 - у1* у2, Икс1* у2 + y1*Икс2)
Пример 1. Рассмотрим z1 = (3, 4) и z2 = (2, 5), вычислить z1 + z2 и z1* г2.
Решение:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1* г2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Используя третье определение, легко показать, что:
(Икс1, 0) + (x2, 0) = (x1 + х2, 0)
(Икс1, 0) * (x2, 0) = (x1*Икс2, 0)
Эти равенства показывают, что в отношении операций сложения и умножения комплексные числа (x, y) ведут себя как действительные числа. В этом контексте мы можем установить следующее соотношение: (x, 0) = x.
Используя это соотношение и символ i для представления комплексного числа (0, 1), мы можем записать любое комплексное число (x, y) следующим образом:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → что является вызовом нормальной формы комплексного числа.
Таким образом, комплексное число (3, 4) в нормальной форме становится 3 + 4i.
Пример 2. Запишите следующие комплексные числа в нормальной форме.
а) (5, - 3) = 5 - 3i
б) (- 7, 11) = - 7 + 11i
в) (2, 0) = 2 + 0i = 2
г) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Теперь обратите внимание, что мы называем i комплексным числом (0, 1). Посмотрим, что будет при изготовлении i2.
Мы знаем, что i = (0, 1) и что i2 = я * я. Следуйте за этим:
я2 = я * я = (0, 1) * (0, 1)
Используя определение 3, мы будем иметь:
я2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Как мы видели ранее, каждое комплексное число вида (x, 0) = x. Таким образом,
я2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Мы пришли к знаменитому равенству i2 = – 1.
Марсело Ригонатто
Специалист по статистике и математическому моделированию
Бразильская школьная команда
Комплексные числа - Математика - Бразильская школа
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm