Треугольная матрица: виды, определитель, упражнения

Матрица треугольная когда все элементы выше главной диагонали или элементы ниже главной диагонали равны нулю. Есть две возможные классификации для этого типа матрицы: первая - когда элементы над главной диагональю равны нулю, что создает нижнюю треугольную матрицу; второй - когда элементы ниже главной диагонали равны нулю, что создает верхнюю треугольную матрицу.

Чтобы вычислить определитель треугольной матрицы по правилу Сарруса, просто выполните основное диагональное умножение, так как все остальные умножения будут равны нулю.

Читайте тоже: Массив - что это такое и существующие типы

Треугольная матрица - частный случай матрицы.

Типы треугольной матрицы

Чтобы понять, что такое треугольная матрица, важно помнить, какова главная диагональ квадратной матрицы, то есть матрица с одинаковым количеством строк и столбцов. Главная диагональ матрицы - это члены a._ij, где i = j, то есть это члены, в которых номер строки равен номеру столбца.

Пример:

Члены на главной диагонали выделены красным.

Понимая, что такое квадратная матрица и какова ее главная диагональ, давайте узнаем, что такое треугольная матрица и ее классификации. Существует две возможные классификации треугольной матрицы:

Внижняя треугольная матрица и верхняя треугольная матрица.

• Нижняя треугольная матрица: происходит, когда все члены над главной диагональю равны нулю, а члены под главной диагональю равны вещественные числа.

Числовой пример:

• Верхняя треугольная матрица: возникает, когда все члены под главной диагональю равны нулю, а члены над главной диагональю являются действительными числами.

Числовой пример:

диагональная матрица

Диагональная матрица - это частный случай треугольной матрицы. В нем отличны от нуля только члены, содержащиеся на главной диагонали. Все члены выше или ниже главной диагонали равны нулю.

Числовые примеры диагональной матрицы:

Определитель треугольной матрицы

Учитывая треугольную матрицу, при вычислении определителя этой матрицы по Правило Сарруса, вы можете видеть, что все умножения равны нулю, кроме умножения члена главной диагонали.

det (A) = a₁₁ · А₂₂· А₃₃ +₁₂ · А₂₃ · 0 +₁₃ · 0 · 0 - (The₁₃ · The₂₃ ·0 +₁₁ · А₂₃ · 0 +₁₂ · 0· А₃₃)

Обратите внимание, что во всех терминах, кроме первого, ноль является одним из факторов, а все умножение нулем равно нулю, поэтому:

det (A) = a₁₁ · А₂₂· А₃₃

Обратите внимание, что это произведение между членами главной диагонали.

Независимо от количества строк и столбцов в треугольной матрице ее определитель всегда будет равен произведению членов главной диагонали.

Смотрите также: Детерминант - функция, применяемая к квадратным матрицам

Свойства треугольной матрицы

Треугольная матрица обладает некоторыми специфическими свойствами.

• 1-й объект: определитель треугольной матрицы равен произведению членов главной диагонали.
• 2-е свойство: произведение двух треугольных матриц представляет собой треугольную матрицу.
• 3-е свойство: если один из членов главной диагонали треугольной матрицы равен нулю, то его определитель будет равен нулю и, следовательно, не будет обратимым.
• 4-й объект: обратная матрица треугольной матрицы также является треугольной матрицей.
• 5-е свойство: сумма двух верхнетреугольных матриц является верхнетреугольной матрицей; аналогично, сумма двух нижнетреугольных матриц является нижнетреугольной матрицей.

решенные упражнения

1) Для матрицы A значение определителя A равно:

а) 2

б) 0

в) 9

г) 45

д) 25

разрешение

Альтернатива d.

Эта матрица имеет нижнюю треугольную форму, поэтому ее определитель - это произведение членов на главной диагонали.

det (A) = 1 · 3 · 3 · 1 · 5 = 45

2) Оцените следующие утверждения.

I → Каждая квадратная матрица треугольная.

II → Сумма верхней треугольной матрицы с нижней треугольной матрицей всегда является треугольной матрицей.

III → Каждая диагональная единичная матрица является треугольной матрицей.

Правильный порядок:

а) V, V, V.

б) F, F, F.

в) F, V, F.

г) F, F, V.

д) V, V, F.

разрешение

Альтернатива d.

I → False, потому что каждая треугольная матрица является квадратной, но не каждая квадратная матрица треугольной.

II → False, поскольку сумма между верхней и нижней треугольной матрицей не всегда приводит к треугольной матрице.

III → Верно, так как члены, отличные от диагонали, равны нулю.

Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm