Аранжировка с повторением: что это, формула, примеры

Мы знаем как повторение аранжировки или полная аранжировка, все упорядоченные перегруппировки, которые мы можем сформировать с k элементы набора с нет элементы, с элементом нет может появиться более одного раза. THE комбинаторный анализ это область математики, которая разрабатывает методы подсчета для определения количества возможных кластеров в определенных ситуациях.

Среди этих группировок есть аранжировка с повторением, присутствующая, например, в создание паролей, номерных знаков, между другими. Чтобы решить эти ситуации, мы применяем формулу расстановки с повторением как технику счета. Существуют разные формулы для расчета повторяющегося расположения и неповторяющегося расположения, поэтому важно знать, как различать каждую из этих ситуаций, чтобы применить правильную технику подсчета.

Читайте тоже: Фундаментальный принцип счета - основная концепция комбинаторного анализа.

Что такое аранжировка с повторением?

Есть договоренность с повторением в производстве автомобильных табличек. [1]

В нашей повседневной жизни мы сталкиваемся с ситуациями, которые включают последовательности и группировки, которые появляются в выбирать пароли из социальных сетей или банка, а также в телефонных номерах или ситуациях, связанных с очереди. Как бы то ни было, нас окружают ситуации, в которых задействованы эти группировки.

Например, на номерных знаках, состоящих из трех букв и четырех цифр, есть уникальная строка по состоянию, которая идентифицирует каждую из машин, в данном случае мы работаем с договоренности. Когда есть возможность повторить элементы, мы работаем с полной аранжировкой или аранжировкой с повторением.

Учитывая набор с нет элементы, известные как аранжировка с повторением все группы, которые мы можем сформировать с k элементы этого набор, где элемент может повторяться более одного раза. Например, на номерных знаках транспортных средств это количество возможных номерных знаков, которое мы можем сформировать, взяв учитывая, что они состоят из трех букв и четырех цифр и что буквы и цифры могут повторяться.

Чтобы рассчитать количество возможных повторяющихся расположений, мы используем очень простую формулу.

Формула аранжировки с повторением

Чтобы найти полную сумму аранжировки нет отдельные элементы взяты из k в

ой, в данной ситуации, допускающей повторение элемента, мы используем следующую формулу:

ВОЗДУХА_нет,_k = нет^k

AR → аранжировка с повторением
нет → количество элементов в наборе
k → количество элементов, которые будут выбраны

Смотрите также: Простая комбинация - подсчитать все подмножества данного набора

Как рассчитать номер повторяющейся аранжировки

Чтобы лучше понять, как применять формулу расположения повторов, см. Пример ниже.

Пример 1:

Банковский пароль состоит из пяти цифр, состоящих исключительно из цифр, каково количество возможных паролей?

Мы знаем, что пароль представляет собой пятизначную строку и что нет ограничений на повторение, поэтому мы будем применять формулу расстановки с повторением. Пользователь должен выбрать из 10 цифр, которые будут составлять каждую из пяти цифр этого пароля, то есть мы хотим вычислить расположение с повторением 10 элементов, взятых каждые пять.

ВОЗДУХА_10,5 = 10⁵ = 10.000

Таким образом, существует 10 000 возможных паролей.

Пример 2:

Зная, что номерные знаки транспортных средств состоят из трех букв и четырех цифр, сколько номерных знаков можно сформировать?

Наш алфавит состоит из 26 букв и 10 возможных чисел, поэтому давайте разделимся на два полных массива и найдем количество возможных массивов для букв и цифр.

ВОЗДУХА_26,3 = 26³ = 17.576
ВОЗДУХА₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

Таким образом, общее количество возможных схем составляет:

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

Разница между простым расположением и повторением аранжировки

Отличие простой аранжировки от аранжировки с повторением имеет важное значение для решения проблем по теме. Для дифференциации важно понимать, что когда мы имеем дело с ситуацией, когда происходят перегруппировки, порядок которых важен, это договоренности, и если эти перегруппировки допускают повторение между терминами, это договоренность с повторением, также известная как договоренность полный. Когда перегруппировка не позволяет повторения, это о простая договоренность.

Формула простой аранжировки отличается от той, которую мы используем для повторяющейся аранжировки.

Мы уже видели примеры повторения аранжировки, теперь рассмотрим пример простой аранжировки.

Пример:

Пауло хочет положить на свою полку три из своих 10 школьных учебников, все разные друг от друга, сколькими способами он может организовать эти книги?

Обратите внимание, что в этом случае важен порядок, но нет повторов, так как это простая организация. Чтобы найти количество возможных группировок, мы должны:

Чтобы узнать больше об этой другой форме группировки, используемой в комбинаторном анализе, прочтите текст: THEпростое расположение.

Решенные упражнения:

Вопрос 1 - (Энем) Банк попросил своих клиентов создать личный шестизначный пароль, состоящий только из цифр от 0 до 9, для доступа к текущему счету через Интернет. Однако специалист по системам электронной безопасности рекомендовал руководству банка перерегистрировать своих пользователей, запросив каждый из них, создание нового пароля с шестью цифрами, теперь позволяющего использовать 26 букв алфавита, помимо цифр от 0 до 9. В этой новой системе каждая заглавная буква считалась отличной от ее строчной версии. Кроме того, было запрещено использование персонажей других типов.

Один из способов оценить изменение системы паролей - это проверить коэффициент улучшения, который является причиной нового количества возможных паролей по сравнению со старым. Рекомендуемый коэффициент улучшения изменения составляет:

разрешение

Альтернатива А

Старый пароль представляет собой массив с повторением, так как он может состоять из всех чисел, поэтому это массив из 10 элементов, взятых каждые шесть.

ВОЗДУХА_10,6 = 10⁶

Новый пароль может состоять из 10 цифр, а также заглавных букв (26 букв) и строчные буквы (26 букв), поэтому пароль для каждой цифры в сумме составляет 10 + 26 + 26 = 62 возможности. Поскольку здесь шесть цифр, мы будем рассчитывать аранжировку с повторением 62 элементов, взятых каждые шесть.

ВОЗДУХА_62,6 = 62⁶

THE причина количество возможных паролей нового пароля по сравнению со старым равно 62⁶/10⁶.

Вопрос 2 - (Enem 2017) Компания создаст свой веб-сайт и надеется привлечь аудиторию примерно в один миллион клиентов. Для доступа к этой странице вам понадобится пароль, формат которого будет определен компанией. Программист предлагает пять вариантов формата, описанных в таблице, где «L» и «D» представляют, соответственно, заглавную букву и цифру.

Буквы алфавита из 26 возможных, а также цифры из 10 возможных могут повторяться в любом из вариантов.

Компания хочет выбрать вариант формата, в котором количество возможных различных паролей больше, чем ожидаемое количество клиентов, но это количество не превышает в два раза ожидаемого количества клиенты.

разрешение

Альтернатива E

Вычисляя каждую из возможностей, мы хотим найти пароль, который имеет более миллиона возможностей и менее двух миллионов возможностей.

Я → LDDDDD

26 ·10⁵ больше двух миллионов, поэтому не удовлетворяет запрос компании.

II → DDDDDD

10⁶ равен одному миллиону, поэтому не удовлетворяет запрос компании.

III → LLDDDD

26² · 10⁴ больше двух миллионов, поэтому не удовлетворяет запрос компании.

IV → DDDDD

10⁵ меньше миллиона, поэтому не удовлетворяет запрос компании.

V → LLLDD

26³ · 10² составляет от одного до двух миллионов, поэтому этот шаблон пароля идеален.

Кредит изображения

[1] Рафаэль Берланди / Shutterstock

Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm