Tu numere irationale a provocat o mare neliniște la matematicieni pentru o perioadă îndelungată. Astăzi deja bine definit, îl cunoaștem ca număr irațional pe al cărui reprezentarea zecimală este întotdeauna o zecimală non-periodică. Principala caracteristică a iraționalelor și ceea ce le face diferite de numerele raționale este că ele nu poate fi reprezentat prin a fracțiune.
Studiul numerelor iraționale a fost aprofundat atunci când, la calcularea problemelor care implică teorema lui Pitagora, s-au găsit rădăcini neexacte. Faptul de a căuta o soluție la aceste rădăcini inexacte a făcut remarcabilă existența zecimilor neexacte. periodic, adică al numerelor a căror parte zecimală este infinită și nu are o succesiune bună. definit. Principalele numere iraționale sunt zecimale neperiodice, rădăcini neexacte și π.
Citește și: Rădăcină pătrată - caz de înrădăcinare în care indicele radical este 2
Set de numere iraționale
Înainte de studiul numerelor iraționale, au fost studiate seturi de numere
natural, numere întregi și raționale. Când am adâncit în studiul triunghiului dreptunghiular, a devenit clar că există unele rădăcini care nu au o soluție exactă, în special, a fost posibil să se vadă că soluțiile rădăcină neexacte sunt numere cunoscut sub numele de zecimi neperiodici.În mijlocul acestei tulburări, mulți matematicieni au încercat să demonstreze, fără succes, că rădăcinile inexacte sunt numere raționale și care poate fi reprezentat ca o fracțiune, dar ceea ce s-a realizat a fost că aceste numere nu pot fi reprezentate în acest lucru formă. Deoarece, până acum, setul de numere raționale nu includea aceste numere, a apărut nevoia de a crea un nou set, cunoscut sub numele de setul de numere iraționale.
Un număr este irațional atunci când reprezentarea sa zecimală este o zecimală non-periodică. |
Ce sunt numerele iraționale?
Pentru a fi un număr irațional, trebuie să satisfacă definiția, adică reprezentarea sa zecimală este o zecimală neperiodică. Principala caracteristică a zecimalelor neperiodice este că acestea nu pot fi reprezentate prin intermediul unei fracții, ceea ce arată că numerele iraționale sunt opuse numerelor raționale.
Numerele principale cu această caracteristică sunt rădăcinile nu sunt exacte.
Exemple:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Când căutați soluții rădăcină non-exacte, adică efectuând întotdeauna reprezentarea zecimală a acestor numere vom găsi o zecimală neperiodică, care face din aceste numere elemente ale mulțimii de iraţional.
În plus față de rădăcinile neexacte, există și ele zecimale neperiodice, de exemplu, dacă calculăm rădăcini neexacte, vom găsi o zecimală neperiodică.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Numerele iraționale sunt reprezentate în mod obișnuit prin litere grecești, deoarece nu este posibil să scrieți toate zecimalele sale.
Primul este π (citiți: pi), prezent în calculul ariei și perimetrului cercurilor. Are o valoare egală cu 3,1415926535…
Pe lângă π, un alt număr foarte comun este ϕ (citiți: fi). El se găsește în probleme care implică proporţie de aur. Are o valoare egală cu 1,618033 ...
Vezi și: Ce sunt numerele prime?
număr rațional și irațional
Când se analizează seturile de numere, este important să se facă diferența între numerele raționale și numerele iraționale. Unirea acestor două seturi formează unul dintre cele mai studiate seturi în matematică, setul de reali, adică setul de numere reale este îmbinarea numerelor care pot fi reprezentate ca fracții (raționale) cu numere care nu pot fi reprezentate ca fracții (iraționale).
În setul de numere rationale, există numerele întregi, cele naturale, zecimale exacte și zecimale periodice.
Exemple de numere raționale:
-60 → întreg
2,5 → zecimal exact
5.1111111... → zecimal periodic
Numerele iraționale sunt zecimale non-periodice, deci nu există un număr care să fie rațional și irațional în același timp.
Exemplu de numere iraționale:
1.123149... → zeciuială neperiodică
2.769235... → zeciuială neperiodică
Operații cu numere iraționale
adunare si scadere
THE plus si scădere a două numere iraționale este de obicei tocmai reprezentat, cu excepția cazului în care se utilizează o aproximare zecimală a acestor numere, de exemplu:
a) √6 + √5
b) √6 - √5
c) 1.414213... + 3.1415926535 ...
Nu putem adăuga sau scădea valorile din cauza radicalilor, așa că tocmai am lăsat operațiunea indicată.
În reprezentările zecimale, de asemenea, nu este posibil să se efectueze suma exactă, deci pentru a adăuga două numere iraționale, avem nevoie de o aproximare rațională., iar această reprezentare este aleasă în funcție de necesitatea de precizie a acestor date. Cu cât considerăm mai multe zecimale, cu atât ne apropiem de suma exactă.
Observare:setul de numere iraționale nu este închis la adunare sau scădere, aceasta înseamnă că suma a două numere iraționale poate duce la un număr care nu este rațional. De exemplu, dacă calculăm diferența unui număr irațional prin opusul său, trebuie să:
a) √2 - √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Știm că 0 nu este un număr irațional.
Înmulțirea și divizarea
Înmulțirea și Divizia a numerelor iraționale se poate face dacă reprezentarea este a radiatietotuși, ca adunare, în reprezentarea zecimală, adică înmulțind sau împărțind două zecimale, este necesară o aproximare rațională a acestui număr.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Rețineți, de asemenea, că, în exemplul b, 4 este un număr rațional, ceea ce înseamnă că multiplicarea și împărțirea a două numere iraționale nu sunt închise, adică pot avea un rezultat rațional.
exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - Examinați următoarele numere:
I) 3.1415926535
II) 4.1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
Acestea sunt numere iraționale:
A) Doar eu, IV și V
B) Doar II, III și VI
C) Doar II, IV și VI
D) Doar I, II, III și VI
E) Doar III, IV, V și VI
Rezoluţie
Alternativa B
I → numărul este exact zecimal, rațional.
II → numărul este o zecimală neperiodică, irațională.
III → π este irațional și dublul său, adică 2π, este și el irațional.
IV → numărul este o zecimală periodică, rațională.
V → rădăcină exactă, rațională.
VI → rădăcina nu este exactă, irațională.
Intrebarea 2 - Vă rugăm să judecați următoarele afirmații:
I - Ansamblul numerelor reale este uniunea raționalului și iraționalului;
II - Suma a două numere iraționale poate fi un număr rațional;
III - Zecimile sunt numere iraționale.
Analizând afirmațiile, putem spune că:
A) Numai afirmația I este adevărată.
B) Numai afirmația II este adevărată.
C) Numai afirmația III este adevărată.
D) Numai afirmațiile I și II sunt adevărate.
E) Toate afirmațiile sunt adevărate.
Rezoluţie
Alternativa D
I → Adevărat, deoarece definiția mulțimii numerelor reale este uniunea dintre rațional și irațional.
II → Adevărat, când adăugăm un număr la opusul acestuia, vom avea drept rezultat numărul 0, care este rațional.
III → Zecimile false, non-periodice sunt iraționale.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm
