O produs punct între doi vectori este un număr real care leagă magnitudinea acestor vectori, adică lungimea lor și unghiul dintre ei. Pentru a-l calcula, este deci necesar să le cunoaștem lungimile și unghiul pe care îl formează.
Folosind planul ca bază, un vector indică o locație, intensitate, direcție și direcție. Prin urmare, este utilizat în studiile mecanicii (fizica) ca reprezentant al unei forțe aplicate unui obiect.
Reprezentarea obișnuită a vectorului este o săgeată care se termină într-un punct. Se spune că coordonatele acestui punct sunt coordonatele vectorului începând de la punctul O (0,0). Scriem v = (a, b) pentru a-l reprezenta. Astfel, vectorul v = (1,2) este desenat după cum urmează:
Exemplu vectorial pornind de la origine
Pentru a calcula lungimea acestui vector, luați în considerare triunghiul dreptunghiular format de acesta și proiecția sa pe axa x (sau axa y), așa cum se arată în figura următoare:
Lungimea vectorului v
Lungimea unui vector v se numește v norma vectorială
sau modulul v v și este reprezentat de | v |. Rețineți că norma vectorului v = (a, b) este tocmai măsura hipotenuzei triunghiului reprezentat în figura de mai sus. Pentru a calcula această măsură, folosim teorema lui Pitagora:| v |2 =2 + b2
| v | = √ (a2 + b2 )
Produs cu două puncte vectoriale
Având în vedere doi vectori u și v, produsul interior dintre ei este reprezentat de și este definit ca:
= | u || v | · cosθ
Acesta este un fel de înmulțire între doi vectori, cu toate acestea, nu se numește produs deoarece nu este o înmulțire comună, deoarece implică unghiul format de acești doi vectori.
Unghiul dintre doi vectori
Primul rezultat care rezultă din definiția de mai sus este unghiul dintre doi vectori. Cu numerele reale „produs punct”, „norma vectorială u” și „norma vectorială v”, este posibil să se calculeze unghiul dintre vectorii u și v. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să efectuați calculele:
= | u || v | · cosθ
= cosθ
| u || v |
Prin urmare, împărțind produsul interior la normele vectorilor u și v, găsim numărul real referitor la cosinusul dintre acești doi vectori și, prin urmare, unghiul dintre ei.
Rețineți că, dacă unghiul dintre doi vectori este drept, cosθ este egal cu zero. Prin urmare, produsul de mai sus va avea următorul rezultat:
= 0
Din aceasta, se poate concluziona că, având în vedere doi vectori u și v, vor fi ortogonali dacă = 0.
Produs interior calculat din coordonatele vectoriale
Având în vedere cei doi vectori u = (a, b) și v = (c, d), produsul punct între u și v este dat de:
= = a · c + b · d
Proprietățile interne ale produsului
Având în vedere vectorii u, v și w și numărul real α, rețineți:
i) =
Aceasta înseamnă că produsul interior al vectorilor este „comutativ”.
ii) = +
Această proprietate este comparabilă cu distributivitatea multiplicării față de adunare.
iii) = = α
Calculul produsului interior dintre u și v înmulțit cu numărul real α este același lucru cu calcularea produsului interior între αv și u sau între v și αu.
iv)
Produsul interior al lui v cu v este doar zero dacă v este vectorul nul.
v)
Produsul interior al lui v cu v va fi întotdeauna mai mare sau egal cu zero.
De Luiz Paulo Moreira
Absolvent în matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm