THE circumferinţă este o figură geometrică plană formată din unirea punctelor echidistante, adică au aceeași distanță față de un punct fix numit centru. Studiul circumferinței este prezent și în geometrie analitică, în care este posibil să se deducă o ecuație care o reprezintă.
desi cerc și circumferință sunt figuri geometrice plate cu unele elemente în comun, ceea ce duce de obicei la îndoieli, aceste figuri prezintă diferențe importante, în special în ceea ce privește dimensionalitatea.
Citește și: Distanța dintre două puncte - un concept important de geometrie analitică
elemente ale cercului
Rețineți circumferința:
Ideea Ç se numeste centrul cercului, și rețineți că punctele A și B îi aparțin. Segmentul care unește capetele cercului care trece prin centru se numește diametru. Pe circumferința anterioară, atunci trebuie diametrul este segmentul AB.
Pentru împarte diametrul în jumătate, să obținem raza circumferinței, adică raza (r) a unui cerc este segmentul care unește centrul și sfârșitul. În acest caz, raza este segmentul CB. Putem stabili o relație matematică între aceste două elemente, deoarece diametrul este de două ori mai mare decât raza.
d = 2 · r
Exemplu
Determinați raza unui cerc care are un diametru de 40 cm.
Știm că diametrul este de două ori mai mare decât raza, astfel:
lungimea circumferinței
Luați în considerare un cerc care are o rază care măsoară r. O lungime sau perimetru a circumferinței este dată de produsul çconstant pi (π) cu dublul razei.
Când calculăm lungimea sau perimetrul unui cerc, determinăm dimensiunea liniei verde în desenul anterior și, pentru a face acest lucru, trebuie doar să înlocuiți valoarea razei din formula care continuă figura.
Exemplu
Determinați lungimea circumferinței razei 5 cm.
Raza cercului este egală cu 5 cm, deci pentru a determina lungimea cercului, trebuie să înlocuim această valoare în formulă.
C = 2πr
C = 2 (3,14) (5)
C = 6,24 · 5
C = 31,2 cm
Vezi și: Construcția poligoanelor inscripționate
zona circumferinței
Luați în considerare un cerc de rază r. Pentru a vă calcula suprafața, trebuie înmulțiți pătratul valorii razei cu π.
Când calculăm aria cercului, determinăm măsura suprafeței, adică întreaga regiune din interiorul cercului.
- Exemplu
Determinați aria unui cerc care are o rază egală cu 4 cm.
Avem că raza circumferinței este egală cu 4 cm, deci putem înlocui această măsură în formula zonei. Uite:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 · 16
H = 50,24 cm2
Ecuatia circumferintei reduse
Știm că un cerc poate fi construit de colectare de puncte care au aceeași distanță dintr-un punct fix numit origine sau centru. Deci, ia în considerare un punct fix în Avion cartezian O (a, b). Setul de puncte - reprezentat de P (x, y) - care se află la aceeași distanță r de acest punct fix va forma un cerc de rază r.
Rețineți că punctele formei P (x, y) sunt toate la aceeași distanță de punctul O (a, b), adică distanța dintre punctele O și P este egală cu raza cercului, prin urmare:
La ecuație redusă, rețineți că numerele și B sunt coordonatele centrului cercului și că r este măsura razei.
- Exemplu
Determinați coordonatele centrului și măsura razei cercului care are o ecuație:
a) (x - 2)2 + (y - 6)2 = 36
Comparând această ecuație cu ecuația redusă, avem:
(X - )2 + (y - B)2 = r2
(X - 2)2 + (y -6)2 = 36
Vezi că a = 2, b = 6 și r2 = 36. Singura ecuație de rezolvat este:
r2 = 36
r = 6
Prin urmare, coordonata centrului este: O (2, 6) și lungimea razei este 6.
b) (x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
În mod similar, avem:
(X - )2 + (y - B)2 = r2
(x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
- b = 3
b = –3
În timp ce valoarea razei este dată de:
r2 = 121
r = 11
c) x2 + y2 = 1
(X - )2 + (y - B)2 = r2
X2 + y2 = 1
Rețineți că x2 = (x + 0)2 și y2 = (y + 0)2 . Deci trebuie să:
(X - )2 + (y - B)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Prin urmare, coordonata centrului este O (0, 0) și raza este egală cu 1.
De asemenea, accesați: Cum se găsește centrul unui cerc?
ecuația generală a cercului
Pentru a determina ecuația generală a cercului, trebuie dezvoltați ecuația redusă a ei. Astfel, considerați un cerc care are un centru la coordonatele O (a, b) și raza r.
Inițial, vom dezvolta termenii pătrat folosind produse notabile; apoi vom transmite toate numerele primului membru; și, în cele din urmă, vom uni termenii cu același coeficient literal, adică cei cu aceleași litere. Uite:
Exemplu
Determinați coordonatele centrului și raza medie a cercului care are o ecuație:
a) x2 + y2 - 4x - 6y + 4 + 9 - 49 = 0
Pentru a determina raza și coordonatele cercului care are această ecuație, trebuie să o comparăm cu ecuația generală. Uite:
X2 + y2 – Al 2-leaX - 2by + 2 + B2 –r2 = 0
X2 + y2 – 4X - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
Din comparațiile în verde, trebuie să:
2 = 4
a = 2
sau
2 = 4
a = 2
Din comparațiile în roșu, avem:
2b = 6
b = 3
sau
B2 = 9
b = 3
Astfel, putem spune că centrul are coordonata O (2, 3). Acum, comparând valoarea lui r, avem:
r2 = 49
r = 7
Prin urmare, raza cercului are o lungime egală cu 7.
b) x2 + y2 - 10x + 14y + 10 = 0
În mod similar, să comparăm ecuațiile:
X2 + y2 – Al 2-leaX - 2by + 2 + b2 - r2 = 0
X2 + y2 –10X + 14y + 10 = 0
2 = 10
a = 5
Determinarea valorii lui b:
–2b = 14
b = - 7
Rețineți acum că:
2 + b2 - r2 = 10
Deoarece cunoaștem valorile lui a și b, le putem înlocui în formulă. Uite:
2 + b2 - r2 = 10
52 + (–7)2 - r2 = 10
25 + 49 - r2 = 10
74 - r2 = 10
- r2 = 10 – 74
(–1) - r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Prin urmare, coordonatele centrului sunt O (5, –7) și raza are o lungime egală cu 8.
Diferențele dintre circumferință și cerc
Diferența dintre un cerc și un cerc se referă la numărul de dimensiuni a fiecărui element. În timp ce cercul are o dimensiune, cercul are două.
Un cerc este o regiune din plan formată din puncte toate echidistante de la un punct fix numit origine. Cercul este alcătuit din fiecare regiune din cerc. Vedeți diferența în imagini:
Vezi și:lungimea circumferinței și aria cercului
exerciții rezolvate
intrebarea 1 - O circumferință are un perimetru egal cu 628 cm. Determinați diametrul acestui cerc (adoptați π = 3,14).
Rezoluţie
Deoarece perimetrul este egal cu 628 cm, putem înlocui această valoare în expresia lungimii circumferinței.
intrebarea 2 - Două cercuri sunt concentrice dacă au același centru. Știind acest lucru, determinați aria figurii goale.
Rezoluţie
Rețineți că pentru a determina aria regiunii în alb, trebuie să determinăm aria cercului mai mare și apoi cea a cercului mai mic în albastru. De asemenea, rețineți că, dacă eliminăm cercul albastru, rămâne doar regiunea dorită, deci trebuie să scădem acele zone. Uite:
THEMAI MARE = r2
THEMAI MARE = (3,14) · (9)2
THEMAI MARE = (3,14) · 81
THEMAI MARE = 254,34 cm2
Să calculăm acum aria cercului albastru:
THEMAI MICA = r2
THEMAI MICA = (3,14) · (5)2
THEMAI MICA = (3,14) · 25
THEMAI MICA = 78,5 cm2
Astfel, aria goală este dată de diferența dintre zona mai mare și zona mai mică.
THEALB = 254,34 – 78,5
THEALB = 175,84 cm2
de Robson Luiz
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm
