Toate numerele existente au fost create în funcție de nevoile umane la momentul creării, așa cum este cazul numerelor naturale, care au fost create pentru a număra și controla „stocurile” și numerele iraționale, care au fost stabilite pentru a rezolva problemele legate de rădăcini. Tocmai problemele legate de rădăcini au început să cunoască despre numere complexe.
Ecuația pătratică x2 + 4x + 5 = 0 nu are rădăcini reale. Aceasta înseamnă că, în cadrul setului de numere reale, este imposibil să se găsească valori pentru x care să fie egale cu primul termen al acestei ecuații cu al doilea. Observăm acest fenomen încă de la începutul formulei lui Bhaskara:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Odată ce se găsește o valoare negativă pentru Δ, devine imposibil să procedăm cu formula lui Bhaskara, deoarece necesită calcularea √Δ (rădăcina deltei). Acum, știm că √– 4 nu poate fi calculat deoarece nu există un număr real care, înmulțit cu el însuși, ar rezulta în - 4.
Au fost create numere complexe pentru a satisface aceste nevoi. De la crearea sa, √– 4 poate fi dezvoltat după cum urmează:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √ (- 1) este înțeles ca un nou tip de număr. Mulțimea tuturor acestor numere este cunoscută ca mulțimea numerelor complexe și fiecare reprezentant al acestui nou set este definit astfel: Fie A un număr complex, atunci,
A = + Beu, unde și B sunt numere reale și i = √ (- 1)
În această definiție, Este cunoscut sub numele de parte reală a lui A și B Este cunoscut sub numele de parte imaginară a lui A.
Proprietățile numerelor complexe
Numerele reale reprezintă, în întregime și geometric, o linie. Numerele complexe, la rândul lor, reprezintă un plan întreg. Planul cartezian folosit pentru a reprezenta numerele complexe este cunoscut sub numele de plan Argand-Gauss.
Fiecare număr complex poate fi reprezentat pe planul Argand-Gauss ca punct de coordonate (a, b). Distanța de la punctul care reprezintă un număr complex la punctul (0,0) se numește modulul numărului complex., care este definit:
Fie A = a + bi un număr complex, modulul său este | A | = a2 + b2
Numerele complexe au și un element invers, numit conjugat. Este definit ca:
Fie A = a + bi un număr complex,
Ā = a - bi este conjugatul acestui număr.
Proprietatea 1: Produsul unui număr complex și conjugat este egal cu suma pătratelor părții reale și a părții imaginare a numărului complex. Matematic:
AĀ = a2 + b2
Exemplu: Care este produsul lui A = 2 + 5i prin conjugatul său?
Doar faceți calculul: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Dacă am alege să scriem conjugatul lui A și, după aceea, să efectuăm multiplicarea AĀ, am avea:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Adică, folosind proprietatea propusă, este posibil să se evite un calcul lung, precum și erori în timpul acestor calcule.
Proprietatea 2: Dacă un număr complex A este egal cu conjugat său, atunci A este un număr real.
Fie A = a + bi. Dacă A = Ā, atunci:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Prin urmare, b = 0
Prin urmare, este obligatoriu ca fiecare număr complex egal cu conjugatul său să fie și un număr real.
Proprietatea 3: Conjugatul sumei a două numere complexe este egal cu suma conjugatelor acestor numere., acesta este:
_____ _ _
A + B = A + B
Exemplu: Care este conjugat dintre suma 7 + 9i și 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Puteți adăuga mai întâi și apoi calculați conjugatul rezultatului sau mai întâi faceți conjugatele și apoi adăugați rezultatele mai târziu.
Proprietatea 4: Conjugatul produsului dintre două numere complexe este egal cu produsul conjugatelor lor, adică:
__ _ _
AB = A · B
Exemplu: Care este produsul conjugatelor dintre A = 7i + 10 și B = 4 + 3i?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
În funcție de necesitatea exercițiului, este posibil să se înmulțească mai întâi și să se calculeze conjugat ulterior sau să se afișeze conjugatele înainte de a efectua multiplicarea.
Proprietatea 5: Produsul unui număr complex A și conjugat este egal cu pătratul modulului lui A, adică:
AĀ = | A |2
Exemplu: A = 2 + 6i, apoi AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Rețineți că nu este necesar să găsiți conjugat și să efectuați o înmulțire prin proprietatea distributivă a înmulțirii peste adunare (cunoscută sub numele de micul duș).
Proprietatea 6: Modulul unui număr complex este egal cu modulul conjugatului său. Cu alte cuvinte:
| A | = | Ā |
Exemplu: Găsiți modulul conjugatului numărului complex A = 3 + 4i.
Rețineți că nu este necesar să găsiți conjugat, deoarece modulele sunt aceleași.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Dacă | Ā | s-ar calcula, singura modificare ar fi a B negativ pătrat, care are un rezultat pozitiv. Astfel, rezultatul ar fi în continuare rădăcina lui 25.
Proprietatea 7: Dacă A și B sunt numere complexe, atunci modulul produs al lui A și B este egal cu modulul produsului lui A și B., adică:
| AB | = | A || B |
Exemplu: Fie A = 6 + 8i și B = 4 + 3i, cât este | AB |?
Rețineți că nu este necesar să multiplicați numere complexe înainte de a calcula modulul. Este posibil să calculați separat modulul fiecărui număr complex și apoi să multiplicați rezultatele.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10 · 5 = 50
De Luiz Paulo Moreira
Absolvent în matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm