THE factorizarea expresiei algebrice constă în scrierea unei expresii algebrice în forma produsului. În cazuri practice, adică în soluționarea unor probleme care implică expresii algebrice, factorizarea este extrem de utilă deoarece, în majoritatea situațiilor, simplifică expresia lucrată.
Pentru a efectua factorizarea expresiilor algebrice, vom folosi un rezultat foarte important în matematică numit teorema fundamentală a aritmeticii, care afirmă că orice număr întreg mai mare de 1 poate fi scris ca produs al numere prime, Uite:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Tocmai am luat în calcul numerele 121 și 60.
Citește și tu: Descompunerea unui număr în factori primi
Metode de factorizare a expresiilor algebrice
Acum vom vedea principalele metode de factorizare, cele mai utilizate vom face o scurtă justificare geometrică. Uite:
Factorizarea dovezilor
Luați în considerare dreptunghiul:
Rețineți că dreptunghi albastru plus aria dreptunghiului verde rezultă în dreptunghiul mai mare. Să analizăm fiecare dintre aceste domenii:
THEALBASTRU = b · x
THEVERDE = b · y
THEMAI MARE = b · (x + y)
Deci, trebuie să:
THEMAI MARE = AALBASTRU + AVERDE
b (x + y) = bx + de
Exemple
) Pentru a lua în calcul expresia: 12x + 24y.
Rețineți că 12 este factorul evidențiat, deoarece apare în ambele parcele, deci este suficient să determinați numerele care intră în paranteze. acțiune fiecare colet după factorul din dovezi.
12x: 12 = X
24y: 12 = 2y
12x + 24y = 12 · (X + 2y)
B) Pentru a exprima factorul 21ab2 - 702B.
În același mod, inițial, se determină factorul din dovezi, adică factorul care se repetă în colete. Vedeți că din partea numerică avem 7 ca factor comun, deoarece este cel care împarte ambele numere. Acum, în ceea ce privește partea literală, vedeți că se repetă doar factorul ab, prin urmare, factorul din dovezi este: 7ab.
21ab2 - 702b = 7ab (3b - 10)
Citește și tu: Diviziunea polinomială: cum se face?
Factorizarea prin grupare
Factorizarea prin grupare este care rezultă din factorizarea prin dovezi, singura diferență este că, în loc să avem un monomiu ca factor comun sau un factor de dovadă, vom avea un polinom, vezi exemplul:
Luați în considerare expresia (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Rețineți că factorul comun este binomul (a + b),prin urmare, forma factorizată a expresiei anterioare este:
(a + b) · (Xy + wz2)
diferența dintre două pătrate
Luați în considerare două numere a și b, când avem a diferență din pătratul acestor numere, adică2 - B2, astfel încât să le putem scrie ca produs al sumei pentru diferență, adică:
2 - B2 = (a + b) · (a - b)
Exemple
) Pentru a factoriza expresia x2 - da2.
Putem folosi diferența dintre două pătrate, deci:
X2 - da2 = (x + y) · (x - y)
B) Pentru factorul 20202 – 2.0192.
Putem folosi diferența dintre două pătrate, deci:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Trinomialul pătratului perfect
Luați următorul pătrat din lateral (a + b) și notați suprafețele pătratelor și dreptunghiurilor formate în interiorul acestuia.
A se vedea zona de pătrat mai mare este dat de (a + b)2, dar, pe de altă parte, aria celui mai mare pătrat poate fi obținută adăugând pătratele și dreptunghiurile din interior, astfel:
(a + b)2 =2+ ab + ab + b2
(a + b)2 =2+ 2b + b2
(a + b)2 =2 + 2ab + b2
În mod similar, trebuie să:
(a - b)2 =2 - 2ab + b2
Exemplu
Luați în considerare expresia x2 + 12x + 36.
Pentru a lua în calcul o expresie de acest tip, trebuie doar să identificați coeficientul variabilei x și coeficientul independent și să comparați cu formula dată, a se vedea:
X2 + 12x + 36
2 + 2ab + b2
Făcând comparații, vedeți că x = a, 2b = 12 și b2 = 36; dintre egalități, avem acel b = 6, deci expresia factorizată este:
X2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Liceul Trinomial
Luați în considerare trinomul toporului2 + bx + c. Forma sa factorizată poate fi găsită folosind rădăcinile tale, adică valorile lui x care elimină expresia respectivă. Pentru a determina valorile care fac această expresie zero, rezolvați doar ecuația ax2 + bx + c = 0 folosind orice metodă este convenabilă. Aici evidențiem cea mai cunoscută metodă: Metoda Bhaskara.
Forma factorizată a trinomului toporului2 + bx + c este:
topor2 + bx + c = a · (x - x1) · (X - x2)
Exemplu
Luați în considerare expresia x2 + x - 20.
Primul pas este determinarea rădăcinilor ecuației x.2 + x - 20 = 0.
Deci forma factorizată a expresiei x2 + x - 20 este:
(x - 4) · (x + 5)
Cubul diferenței dintre două numere
Cubul diferenței dintre două numere a și b este dat de:
(a - b)3 = (a - b) · (a - b)2
(a - b)3 = (a - b) · (a2 - 2ab + b2)
Cubul sumei a două numere
În mod similar, avem că (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , curând:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
exerciții rezolvate
intrebarea 1 - (Cefet-MG) Unde numărul n = 6842 – 6832, suma cifrelor lui n este:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Rezoluţie
Alternativă d. Pentru a determina suma cifrelor lui n, mai întâi luăm în calcul expresia, deoarece calculul pătratelor și apoi scăderea sunt lucrări inutile. Factorizând expresia folosind diferența dintre două pătrate, avem:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1.367 · 1
n = 1.367
Prin urmare, suma cifrelor lui n este dată de 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Intrebarea 2 - (Modificat Insper-SP) Determinați valoarea expresiei:
Rezoluţie
Pentru a ușura notația, să numim a = 2009 și b = 2. amintiți-vă că 22 = 4, deci trebuie să:
Observați că, în numărătorul fracției, avem diferența dintre două pătrate, astfel încât să putem scrie2 - B2 = (a + b) (a - b). Curând:
a - b = 2009 - 2 = 2007.
de Robson Luiz
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm
