Când studiem poliedre, întâlnim Solidele lui Platon ca un caz particular. Pentru a fi un solid Platon, poliedrul trebuie să îndeplinească trei condiții:
fii convex;
toate fețele au aceeași cantitate de margini;
toate vârfurile sunt capete ale aceluiași număr de margini.
Mai mulți filosofi au căutat să înțeleagă originea Universului, iar Platon a văzut-o în geometrie spațială explicația pentru această origine. Solidele lui Platon sunt:
tetraedru;
hexaedru;
octaedru;
dodecaedru;
icosaedru.
Toți aceștia sunt considerați poligoane obișnuite, ca și ale lor marginile și fețele lor sunt toate congruente. Solidele lui Platon respectă Relația lui Euler, care listează numărul de vârfuri, fețe și margini după formula V + F = A + 2.
Citește și: Care sunt diferențele dintre figurile plate și spațiale?
poliedre regulate
Căutarea poliedrelor regulate este recurentă, deoarece acestea sunt mai ușor de lucrat. Un poliedru este clasificat ca regulat dacă este are toate fețele formate din aceleași poligon congruente
. Când se întâmplă acest lucru, unghiuri iar muchiile sunt, de asemenea, congruente.Solidele lui Platon sunt cazuri particulare de poliedre regulate. Cubul, de exemplu, care este un solid Platon, are toate fețele sale formate din pătrate congruente. Din cele cinci solide ale lui Platon, trei sunt formate din fețe triunghiulare cu triunghiuri congruente, una este formată din fețe pătrate și cealaltă este formată din fețe pentagonale.
Care sunt solidele lui Platon?
Platon a fost un filozof și matematician grec. El a adus mari contribuții la matematică și, încercând să înțeleagă Universul, solide asociate cu elemente ale naturii.
Pentru a fi un solid platonic, poliedrul trebuie să fie regulat și convex. Există doar cinci solide care satisfac această definiție. Sunt: tetraedrul, cubul sau hexaedrul, octaedrul, icosaedrul și dodecaedrul.
Relația între elementul naturii și solid a fost:
tetraedru - foc
hexaedru - Pământ
octaedru - aer
icosaedru - Apă
dodecaedru - Cosmo sau Univers
Pentru a fi un solid Platon, O poliedru trebuie, de asemenea, să fie convex, toate fețele trebuie să aibă același număr de margini și toate vârfurile trebuie să fie capete ale aceluiași număr de margini.
Vezi și: Pavele - solide geometrice formate din fețe plane și poligonale
tetraedru regulat
Tetraedrul regulat este un poliedru care are 4 fețe, care îi justifică numele (tetra = patru). toate fețele tale sunt format din triunghiuri. Are forma unui piramidă de bază triunghiulară și este cunoscută sub numele de piramidă de bază regulată, deoarece toate fețele sale sunt congruente. Are un total de 4 fețe (în formatul triunghi echilateral), 4 vârfuri și 6 muchii.
Dacă doriți să vă construiți propriul tetraedru obișnuit, descărcați și imprimați PDF-ul pe aici.
Cub regulat sau hexaedru
hexaedrul regulat are 6 fețe, care își justifică numele (hex = șase). fețele tale sunt toate pătrat. Este, de asemenea, cunoscut sub numele de cub și are 6 fețe, 12 margini și 8 vârfuri.
Dacă doriți să creați propriul cub, descărcați și tipăriți PDF-ul pe aici.
Octaedru
La fel ca și cele anterioare, numele este legat de numărul de fețe, de unde și octaedrul are 8 fețe. Aceste fețe au formă de triunghi echilateral. Octaedrul are 8 fețe, 12 muchii și 6 vârfuri.
Dacă doriți să vă construiți propriul octaedru, descărcați și imprimați PDF-ul pe aici.
icosaedru
Icosaedrul are un total de 20 de fețe. Fețele lor au formă de triunghiuri echilaterale, la fel ca octaedrul. Are un total de 20 de fețe, 30 de margini și 12 vârfuri.
Dacă doriți să vă construiți propriul icosaedru, descărcați și imprimați PDF-ul pe aici.
Dodecaedru
Dodecaedrul este ultimul solid al lui Platon. Are în total 12 fețe și este considerat mai armonic printre cele cinci solide platonice. Fețele lor au formă de pentagoane. Are 12 fețe, 30 de margini și 20 de vârfuri.
Dacă doriți să vă construiți propriul dodecaedru, descărcați și imprimați PDF-ul pe aici.
De asemenea, accesați: Cilindru - solid geometric format din două fețe circulare paralele și în planuri diferite
Formula lui Euler
Poliedrele eulerian sunt poliedre convexe. Euler a dezvoltat o formulă care leagă numărul de fețe (F), numărul de vârfuri (V) și numărul de muchii (A) într-un poliedru convex. Toate solidele Platon satisfac relația Euler.
V + F = A + 2 |
Analizând formula, este apoi posibil să se calculeze numărul de vârfuri din numărul de fețe și margini, sau numărul de fețe din numărul de vârfuri și margini, pe scurt, cunoscând două dintre elementele sale, este întotdeauna posibil să-l găsim pe al treilea.
Exemplu:
Știind că un poliedru are 8 vârfuri și 12 muchii și că este regulat, câte fețe are?
Știm că V + F = A + 2
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14 - 8
F = 6
exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - (Enem 2016) Solidele lui Platon sunt poliedre convexe ale căror fețe sunt toate congruente unui singur poligon în mod regulat, toate vârfurile au același număr de muchii incidente și fiecare margine este împărțită doar de două. fețe. Acestea sunt importante, de exemplu, în clasificarea formelor cristalelor minerale și în dezvoltarea diverselor obiecte. La fel ca toți poliedrele convexe, solidele lui Platon respectă relația Euler V - A + F = 2, unde V, A și F sunt numărul de vârfuri, muchii și fețe ale poliedrului.
Într-un cristal, a cărui formă este cea a unui poliedru Platon cu față triunghiulară, care este relația dintre numărul de vârfuri și numărul de fețe?
A) 2V - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
C) 2V - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Rezoluţie
Alternativa C. Deoarece fețele sunt triunghiulare, știm că pentru fiecare față există 3 margini. Cu toate acestea, pentru a lega numărul de muchii cu numărul de fețe, este important să ne amintim că fiecare margine este conținută pe două fețe, deoarece întâlnirea a două fețe formează o margine, deci putem lega margine cu față în acest caz pe:
Având relația Euler ca V - A + F = 2 și substituind A, trebuie să:
Intrebarea 2 - Din alternativele de mai jos, judecați care dintre ele nu este un solid Platon.
A) Cub
B) Tetraedru regulat
C) Icosaedru
D) Dodecaedru
E) Con
Rezoluţie:
Alternativa E. Dintre alternative, singura care nu corespunde unui solid Platon este con.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm