intelegerea de seturi este baza principală pentru studiul algebră și concepte de mare importanță în matematică, cum ar fi funcții și inegalități. Notația pe care o folosim pentru seturi este întotdeauna o literă mare din alfabetul nostru (de exemplu, setul A sau setul B).
În ceea ce privește reprezentarea seturilor, se poate face prin diagrama Venn, prin simpla descriere a caracteristicilor elementelor sale, prin enumerarea elementelor sau prin descrierea proprietăților acestora. Când lucrați cu probleme care implică seturi, există situații care necesită performanță operații între mulțimi, fiind uniunea, intersecția și diferența. Urmează să studiem toate acestea în detaliu?
Vezi și tu: Expresii numerice - învață să le rezolvi!
Notarea și reprezentarea seturilor
Pentru reprezentarea unui set, folosim întotdeauna a litera mare a alfabetului, iar elementele sunt întotdeauna între chei și sunt separate printr-o virgulă. Pentru a reprezenta setul de numere pare mai mari de 1 și mai mici de 20, de exemplu, folosim următoarea notație: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Forme de reprezentare a mulțimilor
reprezentare prin enumerare: putem enumera elementele sale, adică să facem o listă, întotdeauna între paranteze. Vezi un exemplu:
A = {1,5,9,12,14,20}
descrierea trăsăturilor: putem descrie pur și simplu caracteristica mulțimii. De exemplu, să fie X un set, avem că X = {x este un număr pozitiv multiplu de 5}; Y: este setul de luni ale anului.
Diagrama Venn: seturile pot fi reprezentate și sub forma unei diagrame, cunoscută sub numele de diagrama Venn, care este o reprezentare mai eficientă pentru efectuarea operațiunilor.
Exemplu:
Având în vedere mulțimea A = {1,2,3,4,5}, o putem reprezenta în următoarea diagramă Venn:
Elemente ale unui set și relație de apartenență
Având în vedere orice element, putem spune că elementul apartine la set sau Nu apartine la acel set. Pentru a reprezenta mai repede această relație de apartenență, folosim simbolurile
(citit ca aparținând) și ∉ (citit ca ne aparținând). De exemplu, să fie P setul de numere de perechi, putem spune că 7 ∉ P și că 12 P.
Egalitatea seturilor
Comparația între seturi este inevitabilă, deci putem spune că două seturi sunt egale sau nu, verificând fiecare dintre elementele sale. Fie A = {0,1,3,4,8} și B = {8,4,3,1,0}, chiar dacă elementele sunt în ordine diferită, putem spune că mulțimile A și B sunt egale: A = B.
Relația de incluziune
Când comparăm două seturi, putem întâlni mai multe relații, iar una dintre ele este relația de incluziune. Pentru această relație, trebuie să cunoaștem câteva simboluri:
⊃ → conține ⊂→ este cuprins
⊅ → nu conține ⊄→nu este conținut
Sfat: partea de deschidere a simbolului va fi întotdeauna orientată spre setul mai mare. |
Când toate elementele unei mulțimi A aparțin și unei mulțimi B, spunem că A ⊂ B sau că A este conținut în B. De exemplu, A = {1,2,3} și B = {1,2,3,4,5,6}. De asemenea, este posibil să efectuați reprezentarea prin diagrama Venn, care ar arăta astfel:
A este conținut în B:
A ⊂ B
Subseturi
Când un relație de incluziune, adică mulțimea A este conținută în mulțimea B, putem spune că A este un subset al lui B. Subsetul rămâne un set și un setul poate avea mai multe subseturi, construit din elementele care îi aparțin.
De exemplu: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} are ca subseturi mulțimile B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} și chiar mulțimea A {1,2,3,4,5,6,7,8}, adică A este un subset al său.
set unitar
După cum sugerează deja numele, acest set este cel care are un singur element, cum ar fi setul D: {1} afișat mai devreme. Având în vedere setul B: {1,2,3}, avem subseturile {1}, {2} și {3}, care sunt toate seturi de unități.
ATENŢIE: Setul E: {0} este, de asemenea, un set unitar, deoarece are un singur element, „0”, și nu este un set gol.
Citește și: Set de numere întregi - elemente și caracteristici
set gol
Cu un nume și mai sugestiv, setul gol nu are elemente și este un subset al oricărui set. Pentru a reprezenta mulțimea goală, există două reprezentări posibile, acestea sunt V: {} sau simbolul Ø.
Seturi de piese
Cunoaștem ca seturi de părți toate subseturile posibile ale unui set dat. Fie A: {1,2,3,4}, putem enumera toate subseturile acestui set A începând cu seturile care nu au elemente (goale) și apoi cele care au unul, două, trei și patru elemente, respectiv.
set gol: { };
Seturi de unități: {1}; {2};{3}; {4}.
Seturi cu două elemente: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
seturi cu trei elemente: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Set cu patru elemente: {1,2,3,4}.
Prin urmare, putem descrie setul de părți ale lui A în acest fel:
P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
Pentru a afla câte părți este posibil să împărțim un set, folosim formula:
n [P (A)] = 2Nu
Numărul de părți ale lui A se calculează cu a potență baza 2 ridicată la Nu, pe ce Nu este numărul de elemente din set.
Luați în considerare mulțimea A: {1,2,3,4}, care are patru elemente. Totalul posibilelor subseturi ale acestui set este 24 =16.
Citește și: Care este setul de numere iraționale?
Set finit și infinit
Când lucrăm cu seturi, găsim seturi care sunt limitat (finit) și cei care sunt nelimitat (infinit). Setul de numere pare sau impare, de exemplu, este infinit și, pentru a-l reprezenta, descriem unele dintre elementele sale în ordine, astfel încât este posibil să se prezică care vor fi următoarele elemente și vom pune elipse în Final.
I: {1,3,5,7,9,11 ...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
Într-un set finit, totuși, nu punem elipsele la sfârșit, deoarece are un început și un sfârșit definite.
A: {1,2,3,4}.
set univers
O set univers, notat cu U, este definit ca mulțimea formată din toate elementele care trebuie luate în considerare în cadrul unei probleme. Fiecare element aparține setului universului și fiecare set este conținut în setul universului.
Operații cu seturi
Operațiile cu mulțimi sunt: unire, intersecție și diferență.
Intersecția seturilor
O intersecție apare atunci când elementele aparțin simultan unuia sau mai multor mulțimi. Când scriem A∩B, căutăm elemente care aparțin atât mulțimii A, cât și mulțimii B.
Exemplu:
Luați în considerare A = {1,2,3,4,5,6} și B = {2,4,6,7,8}, elementele care aparțin atât mulțimii A cât și mulțimii B sunt: A∩B = {2, 4,6}. Reprezentarea acestei operații se face după cum urmează:
A∩B
Atunci când mulțimile nu au niciun element în comun, acestea sunt cunoscute sub numele de seturi disjuncte.
A∩B = Ø
diferența dintre seturi
calculează diferența dintre două seturi este de a căuta elemente care aparțin doar unuia dintre cele două seturi. De exemplu, A - B are ca răspuns un set compus din elemente care aparțin mulțimii A și nu aparțin mulțimii B.
Exemplu: A: {1,2,3,4,5,6} și B: {2,4,6,7,8}. Rețineți că A ∩ B = {2,4,6}, deci avem că:
a) A - B = {1,3,5}
b) B - A = {7,8}
Unitate
Uniunea a două sau mai multe seturi este alăturându-vă termenilor. Dacă există elemente care se repetă în ambele seturi, acestea se scriu o singură dată. De exemplu: A = {1,2,3,4,5} și B = {4,5,6,7,10,14}. Pentru a reprezenta uniunea, folosim simbolul (citește: O uniune cu B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Pentru a afla mai multe despre aceste operații și pentru a verifica câteva exerciții rezolvate, citiți: Operații cu seturi.
Legile lui Morgan
Fie A și B două seturi și fie U setul universului, există două proprietăți date de legile lui Morgan și anume:
(A U B)ç = Aç ∩Bç
(A ∩ B)ç = Aç U Bç
Exemplu:
Având în vedere seturile:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
A: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Să verificăm că (A U B)ç = Aç ∩Bç. Deci, trebuie să:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Prin urmare, (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Pentru a verifica veridicitatea egalității, să analizăm operația Aç ∩Bç:
THEç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Atunci, THEç ∩Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Aç ∩Bç
exerciții rezolvate
01) Luați în considerare U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} și B: {4,5,6, 7,8,9}. Arată că (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
Rezoluţie:
Primul pas: găsiți (A ∩ B)ç. Pentru aceasta, avem acel A ∩ B = {4,5,6}, deci (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
Al doilea pas: gaseste unç U Bç. THEç: {7,8,9,10} și Bç: {1,2,3,10}, deci Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Se arată că (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
02) Știind că A este mulțimea numerelor pare de la 1 la 20, care este numărul total de subseturi pe care le putem construi din elementele acelui set?
Rezoluţie:
Fie P setul descris, avem acel P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Prin urmare, numărul elementelor lui P este 10.
Prin teoria setului de părți, numărul posibilelor subseturi de P este:
210=1024
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
