Paralelogramă: concept, cazuri, formule, exemple

Tu paralelogramele sunt poligoane ale geometrie plană explorate pe scară largă pentru a fi figuri geometrice comune în viața noastră de zi cu zi. Definim un paralelogram ca un poligon care are laturile opuse paralele, o caracteristică care are ca rezultat proprietăți exclusive.

Cazurile particulare ale paralelogramelor sunt pătrate, dreptunghiuri și diamante. Pentru fiecare dintre aceste poligoane, există formule specifice pentru calculul ariei și perimetrului.

Citește și: Cerc și circumferință - forme geometrice cu multe caracteristici

Elementele unui paralelogram

Pentru a fi un paralelogram, poligon trebuie să aibă laturi opuse paralele. Ca caracteristici specifice, trebuie să:

• Fiecare paralelogram este compus din patru laturi, iar laturile opuse sunt paralele.

În acest caz, laturile paralelogramului sunt AB, BC, CD și AD. De asemenea, AB // CD (citiți: AB paralel cu CD), BC // AD.

• Fiecare paralelogram are patru unghiuri interne și suma acestor unghiuri este întotdeauna egal cu 360º.

În galben, cele patru unghiuri interne ale paralelogramului.

• Fiecare paralelogram are două diagonale.

AC și BD sunt diagonale notate respectiv cu d₁ și de₂.

Amintiți-vă că paralelogramele sunt cazuri particulare de patrulatere, deci există trăsături care sunt moștenite de la aceste figuri geometrice, cum ar fi existența a două diagonale, patru laturi și patru unghiuri, precum și suma unghiurilor interioare și exterioare este întotdeauna egală cu 360º.

Proprietățile unui paralelogram

• Prima proprietate: Laturile opuse ale unui paralelogram sunt congruente, adică au aceeași măsură.

AB ≡ CD și AD ≡ BC

• A doua proprietate: Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt congruente, iar două unghiuri consecutive sunt întotdeauna suplimentare (suma este egală cu 180 °).

Știind că AB și CD sunt paralele, atunci laturile BC și AD sunt transversale la AB și CD; în consecință unghiuri formate (w și x) sunt suplimentare deoarece sunt unghiuri colaterale interne. Mai mult, este posibil să se demonstreze că unghiurile x și z sunt congruente.

• A treia proprietate: Diagonalele unui paralelogram sunt tăiate în jumătate.

Când desenăm cele două diagonale ale unui paralelogram, punctul lor de întâlnire le împarte pe fiecare în punctele sale medii.

M este punctul de mijloc al celor două diagonale.

AM = CM

BM = DM

Vezi și: Punct, linie, plan și spațiu: concepte de bază ale geometriei

Zona unui paralelogram

Zona unui paralelogram, în general, se calculează după produsul bazei și înălțimea. Există cazuri particulare (dreptunghiuri, diamante și pătrate) care au formule specifice - acestea vor fi prezentate pe parcursul acestui text - dar care decurg din forma generală.

A = b.h

b: bază

h: înălțime

Perimetrul unui paralelogram

O perimetru este dat de suma din toate părțile. Deoarece un paralelogram are în general două laturi egale, perimetrul său poate fi determinat de:

P = 2 (a + b)

Cazuri speciale de paralelograme

După cum știm, prin definiție, pentru a fi un paralelogram, poligonul trebuie să aibă laturi paralele. Există trei patrulatere care sunt tratate ca cazuri particulare ale paralelogramului: dreptunghiul, diamantul și pătratul.

• Pătrat

noi sunam pătrat un poligon cu patru fețe care are patru laturi și patru unghiuri congruente - fiecare unghi are exact 90 de grade. Deoarece pătratul este un paralelogram, toate proprietățile sunt valabile pentru pătrat.

Aria unui pătrat și perimetrul său sunt calculate similar cu ceea ce se face cu un paralelogram, dar deoarece toate laturile pătratului sunt egale, putem reprezenta aria și perimetrul pătratului astfel:

A = l²

P = 4,1

• Dreptunghi

O dreptunghi este un paralelogram care are toate unghiurile congruente. Acesta primește acest nume pentru că toate unghiurile tale sunt drepte, adică cele patru unghiuri măsoară 90º. Zona dreptunghiului este identică cu zona paralelogramului, dar putem trata latura verticală ca înălțimea, la urma urmei, este perpendiculară pe bază.

A =a.b

P = 2 (a + b)

• Diamant

O diamant este un paralelogram care are toate laturile sale congruente. Rețineți că nu există restricții asupra unghiurilor, acestea pot fi diferite sau nu. Spre deosebire de exemplele anterioare, calculul ariei unui diamant se bazează pe diagonalele acestuia. Există, de asemenea, o relație foarte importantă între diagonalele diamantului și latura acestuia.

D: diagonală mai mare

d: diagonală minoră

l: lateral

Având în vedere orice diamant, știm că diagonalele se intersectează în mijloc, formând patru triunghiuri dreptunghiulare. Analizând unul dintre aceste triunghiuri, este posibil să vedem un Relația pitagorică între latura și jumătatea fiecărei diagonale.

De asemenea, accesați: lungimea circumferinței și aria cercului

Relația dintre paralelograme

Este important să înțelegem definiția paralelogramului, astfel încât să nu existe nicio complicație în timpul clasificării. Este întotdeauna bine să ne amintim că fiecare paralelogram este un patrulater, dar nu fiecare patrulater este un paralelogram.

De asemenea, putem afirma că fiecare dreptunghi, fiecare pătrat și fiecare romb sunt paralelograme. Mai mult, comparând cazurile speciale ale paralelogramelor, putem vedea o altă relație, deoarece pătratul are unghiuri congruente, care este definiția dreptunghiului și, de asemenea, laturile congruente, care este definiția lui diamant. În consecință, putem spune asta fiecare pătrat este un dreptunghi și, de asemenea, un diamant.

Paralelogram mare format din alte figuri geometrice.

exerciții rezolvate

Intrebarea 1 - Știind că figura de mai jos este un paralelogram, care va fi valoarea lui x, y și respectiv z?

a) 40.140 și 180

b) 30, 100 și 100

c) 25, 140 și 95

d) 30, 90 și 145

e) 45, 55 și 220

Rezoluţie

Primul pas: Folosind proprietatea paralelogramului, știm că unghiurile opuse sunt egale. Când analizați imaginea, este mai convenabil să utilizați această proprietate la unghiurile de vârf B și D, deoarece acestea au aceeași necunoscută.

Al doilea pas: Știind că unghiurile consecutive sunt suplimentare și că x = 25, este posibil să se găsească valoarea lui y.

Pasul 3: Deoarece unghiurile vârfurilor C și A sunt opuse, ele sunt congruente, deci putem găsi valoarea lui z.

Alternativa C.

Intrebarea 2 - Calculați aria paralelogramului (laturile măsurate în centimetri) de mai jos.

a) 16 cm²

b) 32 cm²

c) 8 cm²

d) 64 cm²

e) 40 cm²

Rezoluţie

Pentru a găsi aria paralelogramului, este mai întâi necesar să găsiți valoarea lui h. Rețineți că triunghiul AEB este dreptunghiul hipotenuzei egal cu 5, deci putem aplica teorema lui Pitagora pentru a găsi valoarea lui h.

Alternativa B.

De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică

Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/paralelogramos.htm