cercul trigonometric este un cerc de rază 1 reprezentat în Avion cartezian. În ea, axa orizontală este axa cosinusului, iar axa verticală este axa sinusoidală. Poate fi numit și un ciclu trigonometric.
Este folosit pentru a efectua studiul raporturilor trigonometrice. Cu aceasta, este posibil să înțelegem mai bine principalele motive trigonometrice ale unghiuri mai mare de 180º, și anume: sinusul, cosinusul și tangenta.
Citește și: 4 greșeli cele mai frecvente în Trigonometria de bază
Pas cu pas pentru a construi cercul trigonometric
Pentru a construi cercul trigonometric, folosim două axe, unul vertical și unul orizontal, ca un plan cartezian. Axa orizontală este cunoscută sub numele de axa cosinusului, iar axa verticală este cunoscută sub numele de axa sinusoidală.
Odată cu construcția axelor, să desenăm graficul unui cerc care are raza 1.
Rapoarte trigonometrice în cerc
Folosim cercul pentru a găsi valoarea lui sinus, cosinus și tangent, în funcție de valoarea unghiului. având în axa verticală valoarea sinusală și pe axa orizontală valoarea cosinusului, determinând un unghi pe cercul trigonometric, este posibil să se găsească valoarea sinusului și cosinusului prin analiza coordonatele punctului în care segmentul de linie conectează centrul cercului și circumferința, reprezentat de P în imaginea a urma. Dacă tragem linia tangentă la cerc în punctul (1.0), putem calcula și tangenta acestui unghi analitic în funcție de imagine:
Citește și: Ce sunt secant, cosecant și cotangent?
Cercul trigonometric Radians
Știm că un arc poate fi măsurat folosind două unități de măsurare diferite: măsura în grade și măsura în radiani. Noi stim aia circumferința este de 360 ° și că lungimea arcului tău este 2π:
Cadrante ale cercului trigonometric
Indiferent dacă este în radiani sau grade, este posibil să se definească cadranul în care este situat un arc dat în funcție de măsurarea acestuia.
Analizând ciclul, trebuie să:
primul cadran: unghiuri între 0 și 90 ° sau 0 și π / 2 radiani;
al doilea cadran: unghiuri care sunt cuprinse între 90 ° și 180 ° sau π / 2 și π radiani;
al treilea cadran: unghiuri cuprinse între 180º și 270º sau π și 3 π / 2 radiani;
al patrulea cadran: unghiuri care sunt cuprinse între 270 ° și 360 ° sau 3π / 2 și 2π radiani.
Citește și: Planificați caracteristicile și proprietățile
Unghiuri remarcabile în cercul trigonometric
La începutul studiului de trigonometrie, am aflat că unghiurile notabile sunt unghiurile de 30º, 45º și 60º, care au valoarea sinusului, cosinusului și tangentei cunoscute. Cu toate acestea, datorită simetriei ciclului trigonometric, este posibil să se găsească valorile sinusului și cosinusului pentru aceste unghiuri și unghiurile simetrice la el în fiecare dintre cadrane.
Semne de cerc trigonometric
Pentru a înțelege care este semnul fiecăruia dintre raporturile trigonometrice din ciclu, este suficient să se analizeze valorile axelor în planul cartezian.
Să începem cu cosinusul. Deoarece este axa orizontală, cosinusul unghiurilor incluse în dreapta axei verticale este pozitiv, iar cosinusul unghiurilor incluse în stânga axei verticale este negativ.
Acum, pentru a înțelege semnul sinusoidal al unui unghi, trebuie doar să ne amintim că axa verticală este axa sinusală, astfel încât sinusul unui unghi care este deasupra axei orizontale este pozitiv; dar dacă unghiul este sub axa orizontală, sinusul acestui unghi este negativ, așa cum se arată în următoarea imagine:
Noi stim aia tangenta este raportul dintre sinus si cosinus, apoi, pentru a găsi semnul tangentei pentru fiecare dintre cadrane, jucăm jocul semnului, care face tangenta pozitivă în cadranele impare și negativă în cadranele pare:
Citește și: Ce sunt semi-drepte, semi-plane și semi-spațiale?
simetrie în cerc
Analizând ciclul trigonometric, este posibil să se construiască o modalitate de a reduce sinusul, cosinusul și tangenta la primul cadran. Această reducere înseamnă găsirea în primul cadran a unui unghi simetric față de unghiul celorlalte cadrane, deoarece, atunci când lucrăm cu un unghi simetric, valoarea raporturilor trigonometrice este aceeași, schimbându-se doar semnal.
Reducerea unui unghi care se află în al doilea cadran la primul cadran
Începând cu unghiurile care se află în al doilea cadran, trebuie să:
După cum știm, în primul și al doilea cadran, sinusul este pozitiv. Deci, pentru a calcula reducerea sinusului de la al doilea cadran la primul cadran, folosim formula:
sin x = sin (180º - x)
Cosinusul și tangenta din al doilea cadran sunt negative. Pentru a reduce cosinusul de la al doilea cadran la primul cadran, folosim formula:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
Exemplu:
Care este valoarea sinusului și cosinusului unui unghi de 120 °?
Unghiul de 120 ° este un al doilea unghi al cadranului, deoarece este între 90 ° și 180 °. Pentru a reduce acest unghi la primul cadran, calculăm:
sin 120 ° = sin (180 ° - 120 °)
sin 120º = sin 60º
Unghiul de 60 ° este un unghi remarcabil, deci se cunoaște valoarea sa sinusoidală, deci:
Acum, să vă calculăm cosinusul:
cos 120º = - cos (180 - 120)
cos 120º = - cos 60º
Pe măsură ce cunoaștem cosinusul de 60º, trebuie să:
Reducerea unui unghi care se află în al treilea cadran la primul cadran
Ca și în al doilea cadran, există simetrie între unghiurile din al treilea cadran și unghiurile din primul cadran.
Sinusul și cosinusul din al treilea cadran sunt negative. Deci, pentru a reduce sinusul și cosinusul de la al treilea cadran la primul cadran, folosim formula:
sin x = - sin (x - 180º)
cosx = - cos (x - 180º)
Tangenta din al treilea cadran este pozitivă. Pentru ao reduce, folosim formula:
tg x = tg (x - 180º)
Exemplu:
Calculați sinusul, cosinusul și tangenta lui 225º.
sin 225º = - sin (225º - 180º)
sin 225º = - sin 45º
Deoarece 45º este un unghi remarcabil, atunci când consultăm masa, trebuie să:
Acum, calculând cosinusul, trebuie să:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Știm că tg45º = 1, deci:
tg 225º = 1
Reducerea unui unghi care se află în al patrulea cadran la primul cadran
Cu același raționament ca și reducerile anterioare, există o simetrie între al patrulea și al patrulea cadran:
Valorile sinusului și tangentei din al patrulea al patrulea sunt negative. Deci, pentru a face reducerea de la al patrulea la primul cadran, folosim formula:
sin x = - sin (360º - x)
tg x = - tg (360º - x)
Cosinusul din al patrulea cadran este pozitiv. Deci, pentru a reduce la primul cadran, formula este:
cos x = cos (360º - x)
Exemplu:
Calculați valoarea sinusului și cosinusului de 330º.
Începând cu sinusul:
Acum calculăm cosinusul:
Citește și: Cum se calculează distanța dintre două puncte din spațiu?
Cercuri trigonometrice Rezolvate Exerciții
intrebarea 1 - În timpul studiului momentului circular, un fizician a analizat un obiect care se rotea în jurul său, formând un unghi de 15.240º. Analizând acest unghi, arcul format de acesta se află în:
A) cadranul I.
B) cadranul II.
C) cadranul III.
D) cadranul IV.
E) deasupra uneia dintre axe.
Rezoluţie
Alternativa B.
Știm că la fiecare 360 ° acest obiect a completat un cerc în jurul său. Când efectuați Divizia de 15.240 pe 360, vom găsi câte rotații complete a făcut acest obiect în jurul său, dar interesul nostru principal este în rest, care reprezintă unghiul în care s-a oprit.
15.240: 360 = 42,333…
Rezultatul arată că a făcut 42 de ture în jurul său, dar 360 · 42 = 15.120, așa că a lăsat un unghi de:
15.240 – 15.120 = 120º
Știm că 120 ° este un al doilea unghi cadran.
Intrebarea 2 - Vă rugăm să judecați următoarele afirmații:
I → Când se calculează tg 140º, valoarea va fi negativă.
II → Unghiul de 200 ° este un unghi al celui de-al doilea cadran.
III → Sen 130º = sin 50º.
Marcați alternativa corectă:
A) Numai eu este fals.
B) Numai II este fals.
C) Numai III este fals.
D) Toate sunt adevărate.
Rezoluţie
Alternativa B.
I → Adevărat, deoarece unghiul de 140º aparține al doilea cadran, în care tangenta este întotdeauna negativă.
II → Fals, deoarece unghiul de 200 ° este un unghi al celui de-al treilea cadran.
III → Adevărat, pentru că pentru a reduce un unghi de la al doilea la primul cadran, calculați doar diferența de 180 ° - x, apoi:
sin 130 ° = sin (180 ° - 130 °)
sin 130th = sin 50th
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm